第18讲导数与函数的综合问题考点集训【p187】A组1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【解析】由题意可得，当年产量为x时，总成本为C(x)＝20000＋100x，∴总利润P(x)＝则P′(x)＝令P′(x)＝0得x＝300，因为当0≤x＜300时，P′(x)＞0，当x＞300时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，利润最大，故选D.【答案】D2．若对于R上的可导函数f(x)满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)＞2f(1)【解析】当x＞1时，f′(x)≥0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)的最小值为f(1)，必有f(0)＋f(2)≥2f(1)；若函数y＝f(x)为常数函数，则f′(x)＝0，则f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C.【答案】C3．已知函数f＝kx2－lnx，若f>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由题意得f>0在函数定义域内恒成立，即kx2－lnx>0在(0，＋∞)上恒成立，即k>在(0，＋∞)恒成立，设g＝，则g′＝＝，当x∈(0，)时，函数g单调递增；当x∈(，＋∞)时，函数g单调递减，所以当x＝时，函数g取得最大值，此时最大值为g＝，所以实数k的取值范围是，故选D.【答案】D4．把长为60m的铁丝围成矩形，当长为______________m，宽为____________m时，矩形的面积最大．【解析】设矩形的长为xm，则宽为(30－x)m，矩形面积S＝30x－x2(03时，g′(x)>0，当00，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f＝ln－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x＞0时，g(x)≤0，从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.B组1．已知函数f＝x＋，若对任意x∈R,f>ax恒...
