第19讲定积分与微积分基本定理夯实基础【p41】【学习目标】1．了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．【基础检测】1.(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．1B．0C．0或1D．以上都不对【解析】由题设可得k2－k3＝0⇒k2(k－1)＝0，则k＝0或k＝1.【答案】C2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4【解析】如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2，8)，图中阴影部分的面积即为所求图形的面积．S阴＝(4x－x3)dx＝|＝8－×24＝4.【答案】D3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．刹车后汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2【解析】令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝dt＝|＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.【答案】C4.dx＝________．【解析】根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线y＝和x轴所围成的图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是，故dx＝.【答案】5．设函数f(x)是R上的奇函数，f(x＋π)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝cosx－1，则－2π≤x≤2π时，f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为()A．4π－8B．2π－4C．π－2D．3π－6【解析】由题设f(x＋π)＝－f(x)⇒f(x＋2π)＝f(x)，则函数y＝f(x)是周期为2π的奇函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0，2π]的图象，结合函数的图象可知：只要求出该函数y＝f(x)，x∈的图象与x轴所围成的面积即可．容易算得函数y＝f(x)，x∈的图象与x轴所围成的面积是S＝0－∫0(cosx－1)dx＝－＝－1，故借助函数图象的对称性求得函数y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象与x轴所围成的面积是8S＝4π－8.【答案】A【知识要点】1．定积分的定义及相关概念设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)．这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝__kf(x)dx__(k为常数)；(2)[f(x)±g(x)]dx＝__f(x)dx±g(x)dx__；(3)f(x)dx＝__f(x)dx＋f(x)dx__(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，那么f(x)dx＝__F(b)－F(a)__．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作__F(x)|__，即f(x)dx＝__F(x)|＝F(b)－F(a)__．典例剖析【p41】考点1定积分的计算(1)计算(3x2＋2x)dx＝________．(2)计算(ex＋2x)dx＝________．(3)计算dx＝________．(4)计算(x2＋sinx)dx＝________．(5)设f(x)＝，则f(x)dx＝________．(6)定积分|x－1|dx＝________．【解析】(1)原式＝(x3＋x2)|＝12－2＝10.(2)原式＝exdx＋2xdx＝ex|＋x2|＝e－1＋1＝e.(3)原式＝dx＋dx＝x|＋lnx|＝＋ln4－ln1＝＋ln4.(4)(x2＋sinx)dx＝x2dx＋sinxdx＝2x2dx＝2·|＝.(5)f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3|＋|＝＋＝.(6)|x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝|＋|＝＋－＝1.【答案】(1)10(2)e(3)＋ln4(4)(5)(6)1【点评】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．考点2定积分的几何意义及应用(1)如图所示，正弦曲线y＝sinx，余弦曲线y＝cosx与两直线x＝0,x＝π所围成的阴影部分的面积为()A．1B.C．2D．2【解析】∫0dx＋∫π\f(π,4(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)|0＋(－cosx－sinx)|π\f(π,4＝－1＋1＋＝2.【答案】D(2)曲线y＝x3－4x与x轴所围成的封闭图形的面积是________．【解析】由x3－4x＝0得x＝0或x＝±2，函数图象如图所示，则曲线y＝x3...
