第20讲同角三角函数的基本关系与诱导公式夯实基础【p49】【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本公式．2．掌握正弦、余弦的诱导公式．【基础检测】1．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于()A．－B．－C.D.【解析】 sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.【答案】B2．已知cos(π＋α)＝－，且α为第四象限角，则sin(2π－α)＝()A．－B.C.D．－【解析】由题cos(π＋α)＝－，且α为第四象限角，则cos(π＋α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，sinα＝－，sin(2π－α)＝－sinα＝.选B.【答案】B3．若tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A.B.C.D.【解析】原式＝＝＝＝，故选B.【答案】B4．已知sinx＋cosx＝，且00，cosx<0，∴cosx－sinx<0，cosx－sinx＝－＝－＝－.【答案】B【知识要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__．(2)商数关系：__tan__α＝__．2．诱导公式(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值等于α的__同名__函数值，前面加上一个把α看成__锐__角时原函数所在象限的符号．(2)±α，±α的三角函数值等于α的__互余__函数值，前面加上一个把α看成__锐__角时原函数所在象限的符号．记忆方法为：__奇变偶不变，符号看象限__．(3)化任意角的三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是“去负—脱周—化锐”．也可简记为：负化正，大化小，化到锐角再查表．3．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限4.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的联系(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝__1－2sin__αcos____α__，(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝__2sin____2α__．典例剖析【p49】考点1利用诱导公式化简求值已知f＝，若α为第二象限角，且cos＝，求f的值．【解析】f(α)＝＝＝－cosα. cos＝，∴sinα＝.又 α为第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－，f(α)＝.【小结】应用诱导公式时，注意符号的确定原则是视α为锐角，符号是定形前的三角函数的象限符号．考点2利用同角三角函数公式化简、求值(1)已知sin＋2cos＝0，则＝()A．3B．－3C.D．－【解析】因为sin＋2cos＝0，所以－sinθ－2cosθ＝0，可得tanθ＝－2，＝＝＝，故选C.【答案】C(2)若α是第二象限角，则tanα化简的结果是()A．－1B．1C．－tan2αD．tan2α【解析】因为α是第二象限角，所以tanα＝tanα＝tanα＝tanα×＝－1.【答案】A【小结】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点3运用“sinα±cosα”与“sinαcosα”的关系求值已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinα与cosα，α∈，求α及m.【解析】由根与系数的关系可得将①式两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝，sinαcosα＝.由②得＝，m＝，方程可化为2x2－(＋1)x＋＝0，x＝或x＝. α∈，∴sinα＝，cosα＝.故α＝.【小结】本题充分利用根与系数关系及三角函数基本关系式．【能力提升】(1)在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C等于________．【解析】 sin＝3sin(π－A)，∴cosA＝3sinA，即tanA＝.又 A∈(0，π)，∴A＝.由cosA＝－cos(π－B)，得cosA＝cosB.∴cosB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故C＝π－－＝.【答案】(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则()A．f>fB．ffD．f
