第29讲平面向量的数量积考点集训【p202】A组1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a·b＝()A．1B.C.D．2【解析】由题意可得：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2a·b＝7，则a·b＝1.【答案】A2．若向量a与4b－2a垂直，其中向量a＝(－1，1)，b＝(x，2)，则实数x的值是()A．－2B．－1C．1D．2【解析】4b－2a＝4(x，2)－2(－1，1)＝(4x＋2，6)，由a与4b－2a垂直可知，a·(4b－2a)＝－(4x＋2)＋6＝0，x＝1，故选C.【答案】C3．已知A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，4)，则向量BC在向量BA方向上的投影为()A.B．－C.D．－【解析】由已知BC＝(－2，3)，BA＝(－4，－2)，所以向量BC在向量BA方向上的投影为cosθ＝·＝＝＝＝，故选A.【答案】A4．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则向量a与向量b的夹角为()A．90°B．0°C．45°D．60°【解析】cosθ＝＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos60°，所以θ＝60°，故选D.【答案】D5．已知P是边长为2的等边三角形ABC的边BC上的动点，则AP·()A．有最大值8B．是定值2C．有最小值2D．是定值6【解析】以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，所以得到A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，P(x，0)，x∈[－1，1]，所以AB＋AC＝(0，－2)，AP＝(x，－)，所以AP·(AB＋AC)＝6，所以是定值6.【答案】D6．已知向量a＝(2，x)，b＝(－1，1)，若a⊥b，则|a＋b|＝________.【解析】向量a＝(2，x)，b＝(－1，1)，若a⊥b，则a·b＝0⇒－2＋x＝0⇒x＝2，∴|a＋b|＝|(1，3)|＝＝.【答案】7．已知正方形ABCD的边长为1，P为平面ABCD内一点，则(PA＋PB)·(PC＋PD)的最小值为________．【解析】如图，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)．设P(x，y)，则PA＝(－x，1－y)，PB＝(－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，PD＝(1－x，1－y)，∴(PA＋PB)·(PC＋PD)＝(－2x，1－2y)·(2(1－x)，1－2y)＝(1－2y)2－4(1－x)x＝(1－2y)2＋(2x－1)2－1，∴当x＝，y＝时，(PA＋PB)·(PC＋PD)有最小值，且最小值为－1.【答案】－18．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4.(1)求|a＋b|，|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．【解析】a·b＝2×4cos120°＝－4.(1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×(－4)＋16＝12，∴|a＋b|＝2.∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×4－16×(－4)＋4×16＝192，∴|4a－2b|＝8.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即4k－4(2k－1)－2×16＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．B组1．已知向量a＝(λ，－2)，b＝(1＋λ，1)，则“λ＝1”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为a⊥b，所以λ(1＋λ)－2＝0，所以λ＝－2或λ＝1.因为λ＝1能推得λ＝－2或λ＝1，λ＝－2或λ＝1不能推得λ＝1，所以“λ＝1”是“a⊥b”的充分不必要条件．故答案为A.【答案】A2．直角△ABC(∠A＝90°)的外接圆的圆心为O，半径为1，且|OA|＝|AB|，则向量BA在向量BC方向的投影为()A.B.C．－D．－【解析】直角△ABC外接圆圆心O落在BC的中点上，根据题意画出图象，又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，|OA|＝|AB|，∴BC为直径，且BC＝2，OA＝AB＝1，∠ABC＝；∴向量BA在向量BC方向的投影为|BA|cos＝.故选A.【答案】A3．在△ABC中，BC＝2，A＝，则AB·AC的最小值为________________________________________________________________________．【解析】由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，所以AB·AC≤.所以AB·AC＝AB·AC·cos≥－，(AB·AC)min＝－，等号当且仅当AB＝AC时取得．【答案】－4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|OC|＝1，且∠AOC＝α，其中O为坐标原点．(1)若α＝π，设点D为线段OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；(2)若α∈，向量m＝BC，n＝(1－cosα，sinα－2cosα)，求m·n的最小值及对应的α值．【解析】(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，又C，所以OC＋OD＝，所以|OC＋OD|2＝＋(0≤t≤1)．所以当t＝时，|OC＋OD|的最小值为.(2)由题意得C(cosα，sinα)，m＝BC＝(cosα＋1，sinα)，则m·n＝1－cos2α＋sin2α－2sinαcosα＝1－cos2α－sin2α＝1－sin.因为α∈，所以≤2α＋≤，所以当2α＋＝，即α＝时，sin取得最大值1，所以当α＝时，m·n＝1－sin取得最小值1－.
