同步测试卷理科数学(六)【p295】(三角函数的概念及三角恒等变换)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知点P在角的终边上，且|OP|＝4，则点P的坐标为()A．(－2，－2)B.C．(－2，－2)D.【解析】点P的坐标为，即(－2，－2)．【答案】A2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2【解析】72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．【答案】B3．计算(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝()A．1B．2C.D.＋1【解析】∵tan45°＝tan(22°＋23°)＝＝1，∴tan22°＋tan23°＝1－tan22°tan23°，∴(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝1＋(tan22°＋tan23°)＋tan22°tan23°＝2.【答案】B4．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝()A.B．2C．－D．－2【解析】∵cosα＋2sinα＝－，∴cosα＝－－2sinα，∴＋sin2α＝1，(sinα＋2)2＝0，∴sinα＋2＝0，∴sinα＝－，∴cosα＝－，∴tanα＝＝2.【答案】B5．若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于()A.B．－C．aD．－a【解析】sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.【答案】D6．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sin·cos－的值为()A．－B.C．－D.【解析】根据题意，圆O的半径为1，又|BC|＝1，所以△BOC是正三角形，∠BOC＝.由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可得，cos2－sincos－＝(1＋cosα)－sinα－＝sin＝－sin∠AOB，由B的坐标为得，sin∠AOB＝－，所以cos2－sincos－＝.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A，则sin2α＝________．(用数值表示)【解析】由已知得xA＝－，从而由三角函数的定义可知sinα＝，cosα＝－，从而sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.【答案】－8．已知sin2α＝，则tanα＋＝________．【解析】由sin2α＝2sinαcosα＝，即sinαcosα＝，∴tanα＋＝＋＝＝.【答案】9．若<α<2π，化简＋＝________．【解析】∵<α<2π，∴sinα<0，∴原式＝＋＝＋＝＋＝－－＝－.【答案】－10．已知sin＝，则sin－cos的值为________．【解析】sin－cos＝sin－cos＝－sin＋cos2＝－sin＋1－2sin2＝－＋1－＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)(1)若tanα＝2，求的值；(2)化简：sin50°(1＋tan10°)．【解析】(1)原式＝＝＝－3.(2)原式＝＝＝＝＝1.12．(16分)已知函数f(x)＝sin，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.【解析】(1)f＝sin＝sin＝－sin＝－.(2)f＝sin＝sin＝(sin2θ－cos2θ)，因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝，所以f＝(sin2θ－cos2θ)＝＝.13．(18分)(1)①证明两角和的余弦公式：C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式：S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知cosα＝－，α∈，tanβ＝－，β∈，求cos(α＋β)．【解析】(1)①如图，在直角坐标系xOy中作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1，0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)．∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得cos＝sinα，sin＝cosα.sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscos(－β)－sinsin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)∵α∈，cosα＝－，∴sinα＝－.∵β∈，tanβ＝－，∴cosβ＝－，sinβ＝.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
