高考数学 母题题源系列 专题14 分段函数的零点问题 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

母题十四分段函数的零点问题【母题原题1】【2018天津，理14】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果．试题解析：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【母题原题2】【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．【母题原题3】【2016天津，理8】已知函数f（x）=（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，]（B）[，]（C）[，]{}（D）[，）{}【答案】C考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【母题原题4】【2015天津，理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．864224681510551015【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合．【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力．将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力．是提高题．【母题原题5】【2014天津，理14】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】．【解析】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．xy13OtyO91考点：方程的根与函数的零点．【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给条件要求，两函数图象有四个交点，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：利用赋值法，明确函数性质有效化简f(x＋2)＝f(x)－f（1），须从求解f（1）入手，故采用赋值法令x＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x＝1对称；第二步：借助函数性质，确定函数解析式借助函数的周期性和对称性得到函...