高考数学 母题题源系列 专题17 立体几何的基本问题 文-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

母题十七立体几何的基本问题【母题原题1】【2018天津，文17】如图，在四面体中，是等边三角形，平面⊥平面，点为棱的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【考点分析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．．即直线与平面所成角的正弦值为．试题解析：（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，可得平面，故．（Ⅱ）取棱的中点，连接．又因为为棱的中点，故//．（或其补角）为异面直线与所成的角．在中，，故．平面，故．在所成的角．在中，．在中，．直线与平面所成角的正弦值为．【名师点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．【母题原题2】【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【母题原题3】【2016天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【母题原题4】【2015天津，文17】如图，已知平面ABC，AB=AC=3，，，点E，F分别是BC，的中点．（I）求证：EF平面；（II）求证：平面平面．（III）求直线与平面所成角的大小．【答案】（I）见试题解析；（II）见试题解析；（III）．【解析】试题分析：（I）要证明EF平面，只需证明且EF平面；（II）要证明平面平面，可证明，；（III）取中点N，连接，则就是直线与平面所成角，Rt△中，由得直线与平面所成角为．试题解析：（I）证明：如图，连接，在△中，因为E和F分别是BC，的中点，所以，又因为EF平面，所以EF平面．（II）因为AB=AC，E为BC中点，所以，因为平面ABC，所以平面ABC，从而，又，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【命题意图】高考对这类题的考查主要有两个方面：考查空间点、线、面的位置关系，高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，以及空间几何体的体积．【命题规律】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路为对判断定理和性质定理的使用，或以三视图为载体，考查还原后几何体的外接球或内切球问题．【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：根据线面垂直的判断定理和性质定理证明因为与平面内的两条相交直线垂直，所以线与平面垂直，再根据线面垂直的性质定理，线与平面垂直，线与平面内的任何一条直线垂直；第二步：面面垂直的判断定理根据条件可证明平面，即证明平面平面；第三步：根据（Ⅱ）的结论，直接求．【方法总结】1．平行关系的证明：若要证明线面平行，一是根据线面平行的判断定理：平面外的线平行于平面内的线，则线面平行，二是根据面面平行的性质定理证明两个平面平行，那么平面内的任何一条直线与另一个平面平行；若要证明面面平行，根据判断定理，平面内的...