一、选择题1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4解析：选D.由已知得椭圆＋＝1的右焦点为F(2,0)，∴＝2，得p＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：选B.y2＝8x的焦点是F(2,0)，准线x＝－2，如图所示，|PA|＝4，|AB|＝2，∴|PB|＝|PF|＝6.故选B.3．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x解析：选D.因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.B.C.D.解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.把M(1，m)代入得m＝4，即M(1,4)．在双曲线－y2＝1中，A(－，0)，则kAM＝＝.解得a＝.5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为()A．(1,0)B．(2,2)C．(3,2)D．(2,4)解析：选C.依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.二、填空题6．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF的面积是________．解析：代入(1,2)得a＝2，所以抛物线方程为x2＝y，故焦点F.又R，|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，所以梯形的面积为××1＝.答案：(1)(2)8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.故水面宽4米．答案：4三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4c·x，∵抛物线过点(，)，∴6＝4c·，∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点(，)，∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝，∵MN⊥FA，∴kMN＝－.又FA的方程为y＝(x－1)，故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，∴N的坐标为.11．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB为直径的圆过点O，∴OA·OB＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴＋(－5p)＝0，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝x.
