专题限时集训(十一)立体几何1.(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．解：(1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D．由题设知A1B1\s\do5(═)DC，可得B1C\s\do5(═)A1D，故ME\s\do5(═)ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，，2)，N(1，0，2)，A1A＝(0，0，－4)，A1M＝(－1，，－2)，A1N＝(－1，0，－2)，MN＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1，0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2，0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角AMA1N的正弦值为.2．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，CG＝(1，0，)，AC＝(2，－1，0)．设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(3，6，－)．又平面BCGE的法向量可取为m＝(0，1，0)，所以cos〈n，m〉＝＝.因此二面角BCGA的大小为30°.3．(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．[解](1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点，MA的方向为x轴正方向，|MB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC．作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC．设Q(a，0，0)，则NQ＝，B1，故B1E＝，|B1E|＝.又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的法向量，故sin＝cos〈n，B1E〉＝＝.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.4．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB．因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC．(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，AP＝(0，2，2)．取平面PAC的一个法向量OB＝(2，0，0)．设M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，则AM＝(a，4－a，0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由AP·n＝0，AM·n＝0得可取n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)，或a＝，所以n＝.又PC＝(0，2，－2)，所以cos〈PC，n〉＝.所以PC与平面P...
