专题限时集训(十三)解析几何1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．[解](1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①由AM⊥AN知AM·AN＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0.整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1，m＝－k－.于是MN的方程为y＝k－(k≠1)．所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由AM·AN＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，x1＝.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点，即Q.若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝.若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．[解](1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.3．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．[解](1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB．1．(2020·安徽示范高中名校联考)过F(0，1)的直线l与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线l1，l2，设l1与l2交于点Q(x0，y0)．(1)求y0；(2)过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0，所以由x2＝4y⇒y′＝x，所以l1：y－y1＝x1(x－x1)，即l1：y＝x1x－，同理l2：y＝x2x－，联立得得即y0＝－1.(2)因为QF＝，AB＝(x2－x1，y2－y1)，所以QF·AB＝－＋2(y2－y1)＝＋＝0，所以QF⊥AB，即MN⊥AB，|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，同理|MN|＝＋4(易知k≠0)，SAMBN＝|AB||MN|＝8(k2＋1)＝8≥32，当且仅当k＝±1时，四边形AMBN的面积取得最小值32.2．(2020·济宁模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，抛物线C：x2＝2py(p＞0)．(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)...
