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新高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时作业54 抛物线(含解析)-人教版高三数学试题VIP免费

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课时作业54抛物线一、选择题1.已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上,若p=2,则其标准方程为(C)A.y2=-2xB.x2=-2yC.y2=-4xD.x2=-4y解析:由题意知抛物线开口向左,且p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x,故选C.2.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=(D)A.2B.3C.4D.8解析:由题意,知抛物线的焦点坐标为(,0),椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(x0,)在C上,且|PF|=,则p=(B)A.B.C.D.1解析:抛物线的准线方程为y=-,因为P(x0,)在抛物线上,所以点P到准线的距离d=+=|PF|=,则p=,故选B.4.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(B)A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)解析:由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B.5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A(4,y0)作AA1⊥l于点A1,若∠A1AF=,则p=(C)A.6B.12C.24D.48解析: ∠A1AF=,∴∠AA1F=∠AFA1=.设准线l与x轴的交点为B,则|BF|=p,|A1B|=|BF|tan=p,∴|AF|===4+,∴p=24,故选C.6.已知点F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点的纵坐标为(B)A.B.2C.D.3解析: F是抛物线y=2x2的焦点,∴F,准线方程为y=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MF|+|NF|=y1++y2+=,解得y1+y2=4,∴线段MN的中点的纵坐标为=2.故选B.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF||FM|等于(A)A.12B.13C.1D.1解析:抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),M(2,2),∴直线l的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,∴点N的横坐标为. 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,∴|NF|=,|MF|=3,∴|NF||MF|=12,故选A.8.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,AF=3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AM⊥l于点M,则四边形AMCF的面积为(A)A.12B.12C.8D.6解析:不妨设直线AB的倾斜角为锐角,过点B作BD⊥AM,交AM于点D,过点B作BN⊥l,垂足为N,则|AD|=|AM|-|MD|=|AF|-|FB|=2|FB|,|AB|=|AF|+|FB|=4|FB|,所以|AD|=|AB|,在Rt△ABD中,|AD|=|AB|,则∠BAD=60°,所以∠AFx=60°,所以kAB=,则直线AB:y=(x-),代入y2=4x,得[(x-)]2=4x,即3x2-10x+6=0,解得x1=3,x2=,则xA=3,yA=2,则四边形AMCF的面积为×(4+2)×2=12,故选A.二、填空题9.(2019·北京卷)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=4.解析:因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,所求的圆以F为圆心,且与准线l相切,故圆的半径r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.10.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为.解析:设P(x0,y0),则x0+1=4,故x0=3,所以y0=±2.又F(1,0),所以S△PFO=×2×1=.11.(多填题)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=2,+=1.解析:由=1,得p=2.当直线l的斜率不存在时,l:x=1,与y2=4x联立解得y=±2,此时|AF|=|BF|=2,所以+=+=1;当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),代入抛物线方程,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,+=====1.三、解答题12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.解:(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(...

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