课时作业20同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题1．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于(D)A．B．－C．D．－解析：因为tanα＝－，所以＝－，所以cosα＝－sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±，又α是第四象限角，所以sinα＝－.2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin等于(B)A．B．－C．D．－解析：tan(α－π)＝tanα＝，由解得cosα＝±.又因为α∈，所以α为第三象限的角，所以cosα＝－，所以sin＝cosα＝－.3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(D)A．－B．－C．D．解析：∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.又∵|θ|<，∴θ＝.4．设tanα＝3，则等于(B)A．3B．2C．1D．－1解析：∵tanα＝3，∴原式＝＝＝＝2.5．若θ∈，则等于(A)A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ)D．sinθ＋cosθ解析：因为＝＝＝|sinθ－cosθ|，又θ∈，所以sinθ－cosθ>0，所以原式＝sinθ－cosθ.6．已知α∈，且cosα＝－，则等于(C)A．B．－C．D．－解析：∵α∈，且cosα＝－，∴sinα＝＝，则＝＝＝.7．已知sin2α＝，<α<，则sinα－cosα的值是(A)A．B．－C．D．－解析：∵<α<，∴sinα>cosα>0，∴sinα－cosα>0.又sin2α＝，∴(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α＝，则sinα－cosα＝.8．已知3sin＝－5cos，则tan＝(A)A．－B．－C．D．解析：由3sin＝－5cos，得sin＝－cos，所以tan＝＝－.9．(多选题)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(ABCD)A．sin(B＋C)＝sinAB．sin＝cosC．cos(A＋B)cosB解析：因为角A，B，C是△ABC的三个内角，则A＋B＋C＝π，又角A，B，C是锐角，∴sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC<0，A>－B，所以sinA>sin＝cosB，故D正确，故选ABCD．二、填空题10．sinπ·cosπ·tan的值是－.解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.11．已知α∈，tanα＝3，则sin2α＋2sinαcosα＝.解析：sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝.12．(多填题)若f(x)＝cos＋1，且f(8)＝2，则f(x)的周期为4，f(2018)＝0.解析：∵f(x)＝cos＋1，∴f(x)的周期T＝＝4.∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cosα＋1＝2，∴cosα＝1，∴f(2018)＝cos＋1＝cos(1009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cosα＋1＝－1＋1＝0.13．若tanα＝cosα，则＋cos4α＝2.解析：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝或sinα＝(舍)．∴cos2α＝，∴＋cos4α＝＋(cos2α)2＝＋2＝＋＝2.三、解答题14．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)∵cos＝，∴－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.15．(2020·辽宁沈阳联考)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e＋e表示的复数的模为(C)A．B．C．D．解析：由题意得e＋e＝cos＋isin＋cos＋isin＝(cos＋sin)＋i(cos＋sin)，所以其表示的复数的模为(cos＋sin)＝，故选C．16．已知f(α)＝·cos3(2π－α)＋2sin(＋α)·cos(＋α)(α为第三象限角)．(1)若tan(π＋α)＝，求f(α)的值；(2)若f(α)＝－sin(－α)，求tanα的值．解：(1)因为α为第三象限角，所以f(α)＝cos3(2π－α)＋2sin(＋α)·cos(＋α)＝(＋)cos3α＋2cosαsinα＝－2cos2α＋2cosαsinα＝＝，因为tan(π＋α)＝，即tanα＝，所以f(α)＝＝－.(2)由(1)知f(α)＝－2cos2α＋2cosαsinα＝cosα，即sinα－cosα＝，两边平方得1－2sinαcosα＝1－，即sinα·(－cosα)＝－，可知sinα，－cosα是一元二次方程t2－t－＝0的两根，因为α为第三象限角，所以sinα＝－，cosα＝－，所以tanα＝＝＝.
