8.2空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2013天津,17证明异面直线垂直求二面角的正弦值★★☆2012天津,17求异面直线所成角的正切值证面面垂直、求线面角的正弦值2008天津,5直线、平面位置关系的判定充分条件分析解读1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若mα,nα,⊄⊂且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③B.②③C.②④D.②③④答案C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A.13B.❑√23C.❑√33D.23答案C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.答案45°炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,nα,⊂则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1) AEEB=CFFB=2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又 EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CGGD=3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明: EF∥GH,且EFAC=13,GHAC=14,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.3.如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一: A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1α,⊂同理,l2α,⊂又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3α,⊂同理,l4α,⊂故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二: 点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又 A∈l1,C∈l1,∴l1α,⊂同理,l2α,⊂又 F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3β,l⊂4β.⊂而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2异面直线所成角的求法4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4❑√3,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.❑√52B.23C.2❑√55D.❑√53答案C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.aα,b⊥β,α∥β⊂D.aα,b∥β,α⊥β⊂答案C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面AB...
