8.5空间向量及其应用、空间角与距离挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.用向量证明空间中的平行和垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)2018天津,172017天津,17用向量法求空间角的正弦值、用向量法证明空间中直线与平面的平行关系空间角问题★★★2016天津,17用向量法求空间角的正弦值、用向量法证明空间中直线与平面的平行关系求线面角的正弦值2.用向量求空间角与距离1.能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题2.能用向量法解决点面、线面、面面距离问题,了解向量方法在立体几何2015天津,172014天津,17用向量法求空间角线面平行的判定、线线垂直的判定★★★问题中的应用分析解读1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理以及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等问题,从而培养用向量法思考问题和解决问题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,属中档题.破考点【考点集训】考点一用向量证明空间中的平行和垂直关系1.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解析(1)证明:设AD的中点为O,连接OB,OP. △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴OP⊥AD. BC=12AD=OD,且BC∥OD,∴四边形BCDO为平行四边形,又 CD⊥AD,∴OB⊥AD, OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB.过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0).设P(x,0,z)(z>0),由PC=2,OP=1,得{(x-1)2+1+z2=4,x2+z2=1,解得x=-12,z=❑√32,即点P(-12,0,❑√32),而E为PD的中点,∴E(-14,12,❑√34).设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1), ⃗AP=(-12,1,❑√32),⃗AB=(1,1,0),∴{-12x1+y1+❑√32z1=0,x1+y1=0⇒{x1=-y1,z1=-❑√3y1,取y1=-1,得n=(1,-1,❑√3).而⃗CE=(-54,-12,❑√34),则⃗CE·n=0,而CE⊄平面PAB,∴CE∥平面PAB.(2)设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2), ⃗BC=(0,1,0),⃗BP=(-32,0,❑√32),∴{y2=0,-32x2+❑√32z2=0,取x2=1,得m=(1,0,❑√3).设直线CE与平面PBC所成角为θ,则sinθ=|cos|=|⃗CE·m||⃗CE|·|m|=❑√28,故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为❑√28.方法总结1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α)①利用线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.②利用面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.③向量法:(i)求出平面α的法向量n和直线l的方向向量l,证明n·l=0,结合lα⊄可得l∥α.(ii)证明直线l的方向向量l能被平面α内的两个基向量所表示,结合lα⊄可得l∥α.2.求线面角的方法.①定义法:作出线面角,解三角形即可.②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由sinθ=dAB得结论.③向量法:求出平面α的法向量n,设直线AB与α所成角为θ,则sinθ=|cos|.最好是画出图形,否则容易出错.考点二空间角与距离2.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=❑√3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.❑√56C.❑√55D.❑√22答案C3.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),∴⃗PE=(1,12,-1),⃗EF=(-12,12,0...
