单元质检四三角函数(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度2.“α=π2”是“sin(α-β)=cosβ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,则φ=()A.5π12B.π3C.π4D.π64.已知函数y=sin(2x-π3)与y=cos(2x+2π3)的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A.π24B.π12C.π8D.11π245.(2018天津,理6)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减6.(2018全国Ⅰ,文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=()A.15B.√55C.2√55D.1二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.函数f(x)=sin2x+√3cosx-34(x∈[0,π2])的最大值是.8.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π8)的值;(2)求函数y=f(x)+f(x+π4)的最大值及对应的x的值.10.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)方程f(x)=32在区间[0,π2]上的两解分别为x1,x2,求sin(x1+x2),cos(x1-x2)的值.11.(15分)(2018上海,18)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f(π4)=√3+1,求方程f(x)=1-√2在区间[-π,π]上的解.单元质检四三角函数(B)1.D解析由题意,为得到函数y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.2.A解析若α=π2,则sin(α-β)=cosβ.反之不成立,例如,取α=2π+π2,也有sin(α-β)=cosβ.故“α=π2”是“sin(α-β)=cosβ”的充分不必要条件.3.D解析由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π2+2mπ(m∈Z),则x1-x2=π2-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=π3,0<φ<π2,所以当k-m=0,即k=m时,有π2-φ=π3,解得φ=π6.故选D.4.A解析因为函数y=sin(2x-π3)的图象关于直线x=a对称的图象所对应的函数为y=sin[2(2a-x)-π3]=cos{π2-[2(2a-x)-π3]}=cos(2x+5π6-4a),所以y=cos(2x+2π3)=cos(2x+5π6-4a),所以a可以为π24,故选A.5.A解析将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin2x.当-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,即-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增.当π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,即π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减,结合选项,可知y=sin2x在[3π4,5π4]上单调递增.故选A.6.B解析因为cos2α=2cos2α-1=23,所以cos2α=56,sin2α=16.所以tan2α=15,tanα=±√55.由于a,b的正负性相同,不妨设tanα>0,即tanα=√55.由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55.7.1解析由题意可知f(x)=1-cos2x+√3cosx-34=-cos2x+√3cosx+14=-(cosx-√32)2+1.因为x∈[0,π2],所以cosx∈[0,1].所以当cosx=√32时,函数f(x)取得最大值1.8.32解析 函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象过原点,∴当0≤ωx≤π2,即0≤x≤π2ω时,y=sinωx是增函数;当π2≤ωx≤3π2,即π2ω≤x≤3π2ω时,y=sinωx是减函数.由f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减知,π2ω=π3,∴ω=32.9.解(1)f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[√32sin(ωx+φ)-12cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ...
