考点规范练35空间向量及其运算一、基础巩固1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,23.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2B.-143C.145D.24.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足⃗AB·⃗AC=0,⃗AC·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=0,M为BC的中点,则△AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定5.下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.在空间四边形ABCD中,⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC的值为()A.-1B.0C.1D.27.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a的夹角为60°的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)8.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确9.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是.10.已知点O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当⃗QA·⃗QB最小时,点Q的坐标是.11.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.二、能力提升12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若⃗AC'=x⃗AB+2y⃗BC-3z⃗CC',则x+y+z=()A.1B.76C.56D.2313.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.√34a214.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,MN=.三、高考预测15.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求⃗BN的模;(2)求cos<⃗BA1,⃗CB1>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.考点规范练35空间向量及其运算1.B解析由题意得,c垂直于由a,b确定的平面. d=λa+μb,∴d与a,b共面.∴c⊥d.2.A解析 a∥b,∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴{6=k(λ+1),2μ-1=0,2λ=2k,解得{λ=2,μ=12或{λ=-3,μ=12.3.D解析由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.4.C解析 M为BC的中点,∴⃗AM=12¿).∴⃗AM·⃗AD=12¿)·⃗AD=12⃗AB·⃗AD+12⃗AC·⃗AD=0.∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.5.A解析若a与b共线,则a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的定义知,空间任两个向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知,四个命题中正确的个数为0,故选A.6.B解析(方法一)如图,令⃗AB=a,⃗AC=b,⃗AD=c,则⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC=⃗AB·(⃗AD−⃗AC)+⃗AC·(⃗AB−⃗AD)+⃗AD·(⃗AC−⃗AB)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,⃗AB·⃗CD=0,⃗AC·⃗DB=0,⃗AD·⃗BC=0.故⃗AB·⃗CD+⃗AC·⃗DB+⃗AD·⃗BC=0.7.B解析对于选项B,设b=(1,-1,0),则cos
=a·b|a||b|=1×1√2×√2=12.因为0°≤≤180°,所以=60°,故选B.8.C解析 n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,∴n1与n2不垂直.又-32≠-13≠-45,∴n1与n2也不共线.∴α与β相交但不垂直.9.60°解析以BC,BA,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系,如图.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则⃗EF=(0,-1,1),⃗BC1=(2,0,2),∴⃗EF·⃗BC1=2,∴cos<⃗EF,⃗BC1>=2√2×2√2=12,∴EF和BC1所成的角为60°.10.(43,43,83)解析设⃗OQ=λ⃗OP=(λ,λ,2λ),则⃗QA=(1-...
