[练案26]第七讲解三角形的综合应用A组基础巩固一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°[解析]由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故灯塔A在B的南偏西80°.2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(D)A．①②B．②③C．①③D．①②③[解析]由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.3．如果D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(D)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m[解析]－＝10，解得AB＝5(＋1)．故选D.4．(2020·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(A)A．50mB．50mC．25mD．m[解析]由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．故选A.5．(2020·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(D)A．10nmileB．nmileC．5nmileD．5nmile[解析]由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5.故选D.6．(2020·深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为(A)A．mB．mC.mD．m[解析]如图所示．在Rt△ACD中可得CD＝＝BE，在△ABE中，由正弦定理得＝⇒AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m)．7．(2020·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(D)A．5B．15C．5D．15[解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.8．(2020·河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12nmile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8nmile，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(B)A．20nmileB．8nmileC．23nmileD．24nmile[解析]在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12nmile，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，可得AD＝＝＝24nmile.在△ACD中，AD＝24nmile，AC＝8nmile，∠CAD＝30°，CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝242＋(8)2－2×24×8×cos30°＝(8)2，∴CD＝8，故选B.二、填空题9．(2020·佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为千米．[解析]∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．10．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为__700__米．[解析]由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为.[解析]由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20.由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°...
