高考数学一轮复习 练案（47）第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

[练案47]第六讲空间向量及其运算A组基础巩固一、单选题1．(2019·枣阳市第一中学月考)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(C)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对[解析]因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β不平行，也不垂直．故选C.2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列式子中与B1M相等的是(C)A．－a＋b＋cB.a＋b－cC．－a＋b－cD．－a－b＋c[解析]B1M＝B1B＋BM＝－c＋BD＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.故选C.3．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(B)A．B．－2C．0D．或－2[解析]a∥b⇒a＝λb⇒(2m＋1,3，m－1)＝(2λ，mλ，－mλ)⇒⇒m＝－2.故选B.4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(C)A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(0,0，－3)[解析]设P点坐标为(0,0，a)，则由题意知1＋4＋(1－a)2＝4＋4＋(2－a)2，解得a＝3，∴P点坐标为(0,0,3)，故选C.5．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(D)A．－2B．－C．D．2[解析]a－λb＝(－2＋λ，1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)知a·(a－λb)＝－2(－2＋λ)＋(1－2λ)＋3(3－λ)＝0，∴λ＝2，故选D.6．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]由已知得AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，所以cosAB，AC＝＝＝.所以向量AB与AC的夹角为60°.故选C.7．(2019·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为(C)A．a2B．a2C．a2D．a2[解析]AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.故选C.8．(2019·河北模拟)如图所示，已知空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cosOA，BC的值为(A)A．0B．C.D．[解析]设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件a，b＝a，c＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，所以cosOA，BC＝0，故选A.二、多选题9．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，不在平面α内的是(ACD)A．(1，－1,1)B．(1,3，)C．(1，－3，)D．(－1,3，－)[解析]对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0；对于选项B，PA＝(1，－4，)，则PA·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足PA·n＝0.故选A、C、D.10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(AB)A．(AA1＋AB＋AD)2＝2(AC)2B.AC1·(AB－AD)＝0C．向量B1C与AA1的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为[解析]平行六面体的棱长均为a，则由题意知(AA1＋AB＋AD)2＝(AA1)2＋(AB)2＋(AD)2＋2AA1·AB＋2A1A·AD＋2AB·AD＝6a2，2(AC)2＝2(AB＋AD)2＝2((AB)2＋2AB·AD＋(AD)2)＝6a2，∴(AA1＋AB＋AD)2＝2(AC)2，A正确； AC1·(AB－AD)＝(AA1＋AB＋AD)·(AB－AD)＝AA1·AB－AA1·AD＋(AB)2－(AD)2＝0，B正确； B1C＝AD－AA1，cos〈B1C，AA1〉＝＝－，∴B1C与AA1的夹角是120°，C错； BD1＝AA1＋AD－AB，AC＝AD＋AB，记BD1与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，D错；故选AB.11．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(AC)A．2，B．－，C．－3，D．2,2[解析] a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或故选A、C.12．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个结论中正确的是(ACD)A．点P到平面QEF的距离为定值B．直线PQ与平面PEF所成的角为定值C．二面角P－EF－Q的大小为定值D．三棱锥P－QEF的体积为定值[解析]点P到平面QEF的距离为点P到平面DCB1A1的距离为定值，故A正确；又S△EFQ为定值，∴VP－QEF为定值，故D正确；又二面角P－EF－Q即为二面角P...