[练案57]第八讲曲线与方程A组基础巩固一、单选题1．(2019·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(D)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±)D．x2＋y2＝4(x≠±2)[解析]MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.2．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是(D)3．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线[解析]连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．∴点M的轨迹是抛物线，∴D正确．4．(2019·金华模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(D)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0[解析]设Q(x，y)， |PM|＝|MQ|，∴M为线段PQ的中点，∴则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.5．(2019·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(B)A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线[解析]设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，＝－1，x＝－ay， |OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1>0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(B)A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9C.＋＝1D．x2＝16y[解析]M点的轨迹是双曲线－＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．7．(2019·大同模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(D)A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2[解析]如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又 |PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.8．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－2[解析]把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．由中点坐标公式得，∴又 P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.9．(2019·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(D)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．二、多选题10．当α∈(，)时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示的轨迹可以是(ACD)A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线[解析]当α∈(，)时，sinα∈(，1)，∈(1，)，cosα∈(0，)，∈(，＋∞)，>>0.方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．当α＝时，sinα＝1，cosα＝0，方程x2sinα＋y2cosα＝1化为x2＝1，x＝±1，表示两条直线．当α∈(，)时，sinα∈(，1)，∈(1，)，cosα∈(－，0)，∈(－∞，－)，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线．所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.11．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(AC)A．C的方程为－y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点[解析]对于选项A：由已知可设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，又双曲线C过点(3，)，从而×32－()2＝λ，即λ＝1，从而A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝＝＝，所以B错...
