[练案58]第九讲圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2019·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(A)A．＋＝1B．＋＝1C.＋y2＝1D．＋y2＝1[解析]依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.2．(2019·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(D)A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y－x＋3D．y＝2x－3[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.3．(2020·石家庄质检)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(B)A．B．2＋C．2D．＋1[解析]由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，∴2a＝4c－2c，∴e＝＝2＋，故选B.4．(2019·广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为(C)A．B．C.D．[解析]设M(c，y0)，则MF1的中点为N(0，)，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒·(－)＝－1.故⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，∴e＝，选C.5．(2020·榆林调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(A)A．3B．4C．D．2[解析]点M到抛物线焦点的距离为＋1＝3⇒p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴m2＝8.双曲线的渐近线方程为y＝±x，两边平方得y2＝(±)2x2，把M(1，m)代入上式得8＝()2，∴双曲线的离心率e＝＝3.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(A)A．6B．8C．12D．16[解析]由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以|AB|＝|y1－y2|＝6，故选A.7．(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2：－＝1的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为(C)A．，－B．，－C.，D．，[解析]椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为：，设双曲线的离心率为：e，则e×＝1，得：e＝，双曲线中：e＝＝，即：c2＝a2，又c2＝a2＋b2，所以，a2＝a2＋b2，得：a＝b，双曲线的渐近线为：y＝±x＝±x，所以，两条渐近线的倾率为：k＝±倾斜角分别为，，故选C.8．(2020·河南省濮阳市模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(B)A．±B．±C．±D．±1[解析]由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，又由题意x1＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝8，∴＝4，解得k＝±，故选B.二、多选题9．(2020·广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线x2－＝1的渐近线平行，则直线l的方程可以是(AB)A．y＝x＋2B．y＝－x＋2C．y＝－x＋2D．y＝x＋2[解析]双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，∴直线l的方程为y＝±x＋2.故选AB.10．若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是(AC)A．y＝x2－2B．(x－1)2＋y2＝1C.＋y2＝1D．x2－y2＝1[解析]数形结合知选AC.三、填空题11．(2019·大同质检)已知抛...
