[练案74]高考大题规范解答系列(六)——概率与统计1.(2020·江西吉安期中)据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人(1)已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.[解析](1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,所以=0.05,所以x=60.所以持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720,所以应在“无所谓”态度抽取720×=72人.(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人,所以在所抽取的6人中,在校学生为×6=4人,社会人士为×6=2人,则第一组在校学生人数ξ=1,2,3,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,即ξ的分布列为:ξ123P∴E(ξ)=1×+2×+3×=2.2.(2019·湖南衡阳模拟)2018年2月25日,平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界.某校为了让学生更好地了解奥运,了解新时代祖国的科技发展,在高二年级举办了一次知识问答比赛.比赛共设三关,第一、二关各有两个问题,两个问题全答对,可进入下一关;第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得分别为1,2,3分的积分奖励,高二(1)班对三关中每个问题回答正确的概率依次为,,,且每个问题回答正确与否相互独立.(1)记A表示事件“高二(1)班未闯到第三关”,求P(A)的值;(2)记X表示高二(1)班所获得的积分总数,求X的分布列和数学期望.[解析](1)令A1表示事件“高二(1)班闯过第一关”,A2表示事件“高二(1)班闯过第二关”,因为P(A1)=()2=,P(A2)=()2=,所以P(A)=P()+P(A1)=(1-)+×(1-)=.(2)随机变量X的取值为0,1,3,6,则P(X=0)=1-()2=,P(X=1)=()2×[1-()2]=,P(X=3)=()2×()2×(×+××+××)=,P(X=6)=()2×()2×(×+××+××)=,故随机变量X的分布列为X0136P所以E(X)=0×+1×+3×+6×=.3.(2020·百师联盟期中)为了了解一个智力游戏是否与性别有关,从某地区抽取男、女游戏玩家各200名,其中游戏水平为高级和非高级两种.(1)根据题意完善下列2×2列联表,并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关?高级非高级合计女40男140合计(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人,从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手;①若甲入选了10人名单,求甲成为参赛选手的概率.②设抽取的3名选手中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.附表:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0100.050.001k06.6357.87910.828[解析](1)性别高级非高级合计女40160200男60140200合计100300400K2=≈5.333<6.635,所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关.(2)①甲入选3人名单的概率为P==;②根据分层抽样的特征10人中男、女各5人,女生的人数X的所有取值为0,1,2,3;P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==;所以X的分布列为X0123P数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.4.(2020·河北省石家庄市质检)某公司为了提高利润,从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资,投资金额与年利润增长的数据如下表:年份2012201320142015201620172018投资金额x(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y(万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程;如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元,估计该公司在该年的年利润增长为多少?(结果保留两位小数)(2)现从2012年~2018年这7年中抽出三年进行调查,记λ=年利润增长-投资金额,设这三年中λ≥2(万元...