第三章导数一．基础题组1.【2009天津，文10】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)＞0B.f(x)＜0C.f(x)＞xD.f(x)＜x【答案】A【解析】特殊值法:由于2f(x)+xf′(x)＞x2成立,取特殊值x＝0,则有2f(x)＞0,即f(x)＞0.2.【2015高考天津，文11】已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．【答案】3【解析】因为,所以.【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.3.【2016高考天津文数】已知函数为的导函数，则的值为__________.【答案】3【解析】试题分析：【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．二．能力题组1.【2005天津，文21】已知，设：和是方程的两个实根，不等式对任意实恒成立；：函数在上有极值．求使正确且正确的的取值范围．【答案】(-,1)(Ⅱ)对函数求导令，即此一元二次不等式的判别式若＝0，则有两个相等的实根，且的符号如下：(－,)(,+)+0+因为，不是函数的极值若>0，则有两个不相等的实根和(<)，且的符号如下：x(－,)(，)(,+)+0－0+因此，函数f()在＝处取得极大值，在＝处取得极小值综上所述，当且仅当>0时，函数f()在(－,+)上有极值由得或，因为，当或时，Q是正确得综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-,1)2.【2006天津，文20】已知函数其中为参数，且（I）当时，判断函数是否有极值；（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。【答案】（I）无极值，（II），（III）【解析】（I）解：当时则在内是增函数，故无极值。（II）解：令得由及（I），只需考虑的情况。当变化时，的符号及的变化情况如下表：因此，函数在处取得极小值且要使必有可得所以0＋0－0＋极大值极小值3.【2007天津，文21】设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）解：当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．4.【2008天津，文21】设函数，其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（I）在，内是增函数，在，内是减函数．（II）．（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．解此不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．所以，因此满足条件的的取值范围是．5.【2009天津，文21】设函数(x∈R),其中m＞0.(1)当m＝1时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)求函数f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,x1,x2,且x1＜x2,若对任意的x∈［x1,x2］,f(x)＞f(1)恒成立,求m的取值范围.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点与方程的根的关系、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）f(x)在(－∞,1－m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1－m,1+m)内是增函数.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m),且.函数f(x)在x＝1+m处取得极大值f(1+m),且；（Ⅲ）().【解析】(1)解:当m＝1时,,f′(x)＝－x2+2x,故f′(1)...
