第六章数列一．基础题组1.【2005天津，文14】在数列中，，且，则．【答案】26002.【2006天津，文2】设是等差数列，则这个数列的前6项和等于()（A）12（B）24（C）36（D）48【答案】B【解析】是等差数列，∴，则这个数列的前6项和等于，选B.3.【2007天津，文8】设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8【答案】B【解析】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a1a2k，9d+（k-1）d]2=9d•9d+（2k-1）d]，又d≠0，则k2-2k-8=0，k=4或k=-2（舍去）．故选B．4.【2008天津，文4】若等差数列的前5项和，且，则（A）12（B）13（C）14（D）15【答案】B【解析】，所以，选B．5.【2010天津，文15】设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝__________.【答案】4【解析】解析：an＋1＝a1·()n，Sn＝，∴Tn＝＝＝×()n＋－17]． ()n＋≥8，当且仅当n＝4时等号成立，又1－＜0，∴当n＝4时，Tn取最大值，故n0＝4.6.【2011天津，文11】已知是等差数列,为其前n项和,.若,,则的值为.【答案】1107.【2014天津，文5】设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A.2B.-2C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为成等比数列，所以即选D.考点：等比数列8.【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.（I）求和的通项公式;（II）设,求数列的前n项和.【答案】（I）,;（II）（II）由（I）有,设的前n项和为,则两式相减得所以.【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.二．能力题组1.【2005天津，文18】若公比为的等比数列的首项且满足．（I）求的值；（II）求数列的前项和．【答案】（I）c＝1或（II）(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列是一个常数列，即(nN*)这时，数列的前n项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即(nN*)这时，数列的前n项和①式两边同乘，得②①式减去②式，得所以(nN*)2.【2007天津，文20】在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立．3.【2008天津，文20】已知数列中，，，且．（Ⅰ）设，证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．【答案】（I）详见解析，（II）（Ⅲ）详见解析（Ⅱ）解：由（Ⅰ），，，……．将以上各式相加，得．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得．所以对任意的，是与的等差中项．4.【2009天津，文20】已知等差数列{an}的公差d不为0,设Sn＝a1+a2q+…+anqn－1,Tn＝a1－a2q+…+(－1)n－1anqn－1,q≠0,n∈N*.(1)若q＝1,a1＝1,S3＝15,求数列{an}的通项公式;(2)若a1＝d且S1,S2,S3成等比数列,求q的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S2n－(1+q)T2n,n∈N*.本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.【答案】（Ⅰ）an＝4n－3；（Ⅱ）q＝－2；（Ⅲ）详见解析【解析】(1)解:由题设知,S3＝a1+(a1+d)q+(a1+2d)q2.将q＝1,a1＝1,S3＝15代入上式,解得d＝4.所以,an＝4n－3,n∈N*.(2)解:当a1＝d时,S1＝d,S2＝d+2dq,S3＝d+2dq+3dq2.因为S1,S2,S3成等比数列,所以S22＝S1S3,即(d+2dq)2＝d(d+2dq+3dq2).注意到d≠0,整理得q2+2q＝0.因为q≠0,解得q＝－2.(3)证明:由题设知,S2n＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①T2n＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②①式减去②式,得S2n－T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).①式加上②式,得S2n+T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q上标2n－2).③③式两边同乘q,得q(S2n+T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).所以,(1－q)S2n－(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)＝2d(q+q3+…+q2n－1),n∈N*.5.【2012天津，文18】已知{an}是...
