高考数学一轮复习 专题12 导数的概念及其运算（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

专题12导数概念及其运算一、【知识精讲】1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axln__af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数0limx0limx0limx0limx0limx复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.[微点提醒]1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.′＝－.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、【典例精练】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数例1.分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)f(x)＝ln.【解析】(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋＝ex.(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.(3)因为y＝ln＝ln，所以y′＝··(1＋2x)′＝.角度2抽象函数的导数计算例2.(2019·福州联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln，则f(1)＝()A.－eB.2C.－2D.e【答案】B【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.【解法小结】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.考点二导数的几何意义角度1求切线方程例3.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y＝－2xB.y＝－xC.y＝2xD.y＝x【答案】D【解析】因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.角度2求切点坐标例4.)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.【答案】(1，1)【解析】 函数y＝ex的导函数为y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0>0)， 函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－，由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1.又 点P在曲线y＝(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1).角度3求参数的值或取值范围例5.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.【答案】y＝2x.【解析】由题意得y′＝.在点(0，0)处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.例6.(2016山东高考)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）()yfx()yfx（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当时，，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，...