专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质[A组高考达标]一、选择题1．(2016·全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2D[ y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]2．(2016·石家庄一模)过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A．0B．2C．4D．无数C[过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2016·唐山二模)椭圆y2＋＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是()A.B.C.D.B[当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而≥，即1－m2≥，又0＜m＜1，所以0＜m≤.]4．(2016·济宁模拟)设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.A[因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有×2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.]5．(2016·兰州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()【导学号：67722052】A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1D[椭圆的离心率e＝＝＝，所以a＝2b.所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]二、填空题6．(2016·合肥二模)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．[根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.]7．(2016·邯郸二模)已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.【导学号：67722053】25[由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××(2a＋2c)＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]8．(2016·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1的渐近线与椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)交于第一、二象限内的两点分别为A，B，若△OAB的外接圆的圆心为(0，a)，则双曲线C1的离心率为________．－[由双曲线C1：－＝1，可得渐近线为y＝±x，联立解得A，则＝a，化为b2－4ab＋a2＝0，解得＝2－.∴双曲线C1的离心率为＝－.]三、解答题9．(2016·莱芜模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(2，)，其焦点在⊙O：x2＋y2＝4上，A，B是椭圆的左右顶点．图141(1)求椭圆C的方程；(2)M，N分别是椭圆C和⊙O上的动点(M，N不在y轴同侧)，且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PN⊥QN.[解](1)由椭圆焦点在⊙O：x2＋y2＝4上可知，c＝2，1分∴b2＝a2－4，将点(2，)代入＋＝1，得＋＝1，即a4－10a2＋16＝0，解得a2＝8，或a2＝2(舍)，3分∴椭圆C的方程为＋＝1.4分(2)证明：设M(x0，y0)，直线AM的斜率显然存在，设直线AM方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，由可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋16k2－8＝0.6分∴－2x0＝，得x0＝，y0＝，M，8分直线BM的斜率为＝－＝－，9分∴直线BM的方程为y＝－(x－2)．令x＝0，可得P(0,2k)，Q，10分设N(xN，y0)，则PN＝(xN，y0－2k)，QN＝，PN·QN＝x＋y－y0＋4，11分又x＋y...
