高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数 专题强化练五 导数的综合应用 文-人教版高三数学试题VIP免费

专题强化练五函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)＜3，则f(x)＞3x＋6的解集为()A．{x}－1＜x＜1}B．{x|x＞－1}C．{x|x＜－1}D．R解析：设g(x)＝f(x)－(3x＋6)，则g′(x)＝f′(x)－3＜0，所以g(x)为减函数，又g(－1)＝f(－1)－3＝0，所以g(x)＞0的解集为{x|x＜－1}．答案：C2．(2018·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案：D3．(2018·广东二模)已知函数f(x)＝ex－lnx，则下面对函数f(x)的描述正确的是()A．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤2B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)＞2C．∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝0D．f(x)min∈(0，1)解析：因为f(x)＝ex－lnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ex－＝，令g(x)＝xex－1，x＞0，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(0)·g(1)＝－(e－1)＜0，所以∃x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，则f(x)min＝f(x0)＝ex0－lnx0，又ex0＝，x0＝－lnx0，所以f(x)min＝＋x0＞2.答案：B4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则()A．3f(1)＜f(3)B．3f(1)＞f(3)C．3f(1)＝f(3)D．f(1)＝f(3)解析：由于f(x)＞xf′(x)，则′＝＜0恒成立，因此y＝在R上是单调减函数，所以＜，即3f(1)＞f(3)．答案：B5．(2018·佛山市质检)已知函数f(x)＝若m＜n，且f(m)＝f(n)，则n－m的最小值是()A．3－2ln2B．e－1C．2D．e＋1解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．若m＜n，且f(m)＝f(n)，则当lnx＝1时，得x＝e，因此1＜n≤e，－1＜m≤1.又lnn＝m＋，即m＝2lnn－1.所以n－m＝n－2lnn＋1，设h(n)＝n－2lnn＋1(1＜n≤e)，则h′(n)＝1－.当h′(n)＞0，得2＜n≤e；当h′(n)＜0，得1＜n＜2.故当n＝2时，函数h(n)取得最小值h(2)＝3－2ln2.答案：A二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27πdm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________dm.解析：设圆柱的底面半径为Rdm，母线长为ldm，则V＝πR2l＝27π，所以l＝，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，所以S′表＝2πR－.令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小．答案：37．对于x∈(0，2)，不等式kx＜ex＋x3－2x恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：对于x∈(0，2)，kx＜ex＋x3－2x2恒成立．则k＜＋x2－2x对x∈(0，2)恒成立，设f(x)＝＋x2－2x，x∈(0，2)，则f′(x)＝＋2(x－1)＝(x－1)·.令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k＜f(x)min＝f(1)＝e－1.故实数k的取值范围是(－∞，e－1)．答案：(－∞，e－1)8．(2018·江苏卷改编)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[0，1]上的最大值是________．解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，①当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意，因此a＞0.②当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x＞时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，所以x＞0时，f(x)有极小值，为f＝－＋1.因为f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f＝0，所以a＝3.所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)．当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，故f(x)在x∈[0，1]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1.答案：1三、解答题9．已知函数f(x)＝－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：ln≤.(1)解：f(x)＝－lnx＝1－－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－＝，令f′(x)＞0⇒0＜x＜1，令f′(x)＜0⇒x＞1，所以f(x)＝1－－lnx在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)证明：要证ln...