高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 专题强化练四 导数与函数的单调性、极值与最值 理-人教版高三数学试题VIP免费

专题强化练四导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为()A．y＝x＋1B．y＝x－1C．y＝3x＋1D．y＝－x＋1解析：求导函数得y′＝ex＋2，当x＝0时，y′＝e0＋2＝3，所以曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.答案：C2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()解析：法一易知函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，所以只需研究y＝－x4＋x2＋2在x＞0时的图象与性质．又y′＝－4x3＋2x(x＞0)，令y′＞0，得0＜x＜；令y′＜0，得x＞所以y＝－x4＋x2＋2在上递增，在上递减．因此选项D满足．法二令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2＞2，排除C.答案：D3．(2018·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1，2]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]D．(0，3]解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为f(x)＝x2－9lnx在[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1＜a≤2.答案：A4．(2018·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A．2e－1B．－C．1D．2ln2解析：由题意知f′(x)＝－，所以f′(e)＝－，f′(e)＝，所以f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e，当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0，当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln2.答案：D5．(2018·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为()A．2折函数B．3折函数C．4折函数D．5折函数解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点．又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点，又e－2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．答案：C二、填空题6．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．解析：因为f′(x)＝ex·＋exlnx＝ex.所以f′(1)＝e(1＋ln1)＝e.答案：e7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点O(0，0)处的切线方程为________．解析：由于y′＝，所以k＝y′x＝0＝＝2，所以切线方程为y＝2x.答案：y＝2x8．(2017·山东卷改编)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是________(填序号)．①f(x)＝2－x;②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x;④f(x)＝cosx.解析：若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)＞0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意；只有①f(x)＝2－x具有M性质．答案：①三、解答题9．已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝ex·cosx－x，所以f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.(2)f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2sinx·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，所以g(x)在上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且在x＝0处等号成立，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.10．已知f(x)＝lnx＋.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x＞0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，求正数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝－＝，x∈(0，＋∞)．①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值．②当a＞0时，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)为减函数；x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)为增函数，f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f(x)的极小值f(a)＝lna＋1.(2)若对任意x＞0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，即对任...