每日一题规范练(第四周)[题目1](本小题满分12分)在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，b2，，b4成等比数列．(1)求{bn}的通项公式；(2)设an＝()bn，求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，因为b2,，b4成等比数列，b3＝6，所以解得或因为数列{bn}单调递增，所以d＞0，所以b1＝2，d＝2，所以{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)因为an＝()bn，所以an＝nen.所以Sn＝1·e1＋2e2＋3e3＋…＋nen，所以eSn＝1·e2＋2e3＋3e4＋…＋nen＋1，以上两个式子相减得，(1－e)Sn＝e＋e2＋e3＋…＋en－nen＋1，所以(1－e)Sn＝－nen＋1，所以Sn＝.[题目2](本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若23cos2A＋cos2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值；(2)若a＝，A＝，求b＋c的取值范围．解：(1)因为23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，所以cos2A＝，又A为锐角，所以cosA＝，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－b－13＝0，解得b＝5(负值舍去)，所以b＝5.(2)法一在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＋c＝2(sinB＋sinC)＝2[sinB＋sin]＝2[sinB＋(cosB＋sinB)]＝2sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜，所以＜sin≤1，则b＋c∈(，2]．法二由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－3＝bc⇒(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，所以(b＋c)2≤12，则b＋c≤2.又三角形的两边之和大于第三边，所以b＋c＞a＝.故b＋c的取值范围是(，2]．[题目3](本小题满分12分)已知四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．(1)点M为线段AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；(2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．解：(1)因为BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD＝DM，所以BC∥DM.又AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD＝MB，又AB＝2CD，所以M为AB的中点．因为AM＝λAB，所以λ＝.(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，所以BC⊥平面SCD，又BC⊂平面ABCD，所以平面SCD⊥平面ABCD.如图，在平面SCD内过点S作SE垂直于CD交CD的延长线于点E，连接AE，又平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥CE，SE⊥AE，在Rt△SEA和Rt△SED中，AE＝，DE＝，因为SA＝SD，所以AE＝DE，又易知∠EDA＝45°，所以AE⊥ED，由已知求得SA＝AD＝，所以AE＝ED＝SE＝1.连接BD，则V三棱锥SABD＝××2×1×1＝，又V三棱锥BSAD＝V三棱锥SABD，S△SAD＝×××＝，所以点B到平面SAD的距离为＝.[题目4](本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：月份12345销售量x(万件)36478利润y(万元)1934264146(1)从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；(2)已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m，n均不小于30”为事件A，则事件A包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3个．故所求事件的概率为P(A)＝.(2)由前4个月的数据可得，x＝5，y＝30，xiyi＝652，x＝110.所以b＝＝＝5.2.则a＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为y＝5.2x＋4.(3)由题意得，当x＝8时，y＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2，所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5](本小题满分12分)已知动圆C与圆E：x2＋(y－1)2＝外切，并与直线y＝相切．(1)求动圆圆心C的轨迹F；(2)若从点P(m，－4)作曲线F的两条切线，切点分别为A、B，求证：直线AB恒过定点．(1)解：由题意知，圆E的圆心E(0，1)，半径为，设动圆圆心C(x，y)，半径r.因为圆C与直线y＝－相切，所以d＝r，即y＋＝r.①因为圆C与圆E外切，所以|CE|＝＋r，即＝＋r.②联立...
