每日一题规范练(第一周)[题目1](本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，满足a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝an·an＋1，求数列的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，且d≠0，由题意，得即解得所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)由(1)得bn＝an·an＋1＝(3n－2)(3n＋1)，所以＝，Sn＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝＝.[题目2](本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性．解：(1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，又T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．注意到x∈，令k＝0，得函数f(x)在上的单调增区间为，其单调减区间为.[题目3](本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：年龄/岁[7，20)[20，40)[40，80]频数185436(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解：(1)因为样本容量与总体个数的比是＝，所以从年龄在[7，20)抽取的人数为×18＝1，从年龄在[20，40)抽取的人数为×54＝3，从年龄在[40，80]抽取的人数为×36＝2，所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2.(2)设从[7，20)中抽取的1人为a，从[20，40)中抽取的3人分别为b，c，d，从[40，80]中抽取的2人为e，f.从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个，每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4个基本事件，则P(A)＝，故2人来自同一年龄组的概率为.[题目4](本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.[题目5](本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以＋y1y2＝0，所以k1·k2＝＝－.(2)解：①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，(*)又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，(**)由(*)、(**)联立，得|x1|＝，|y1|＝.所以S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.因为＋y1y2＝0，所以＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ＞0.所以S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|·＝2|b|·＝1.综上可知，△POQ的面积S为定值．[题目6](本小题满分12分)已知函数g(x)＝ax...
