题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求点C到平面APB的距离.2.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=2.(1)求证:CD⊥平面ADP;(2)若M为线段PC上的点,当BM⊥PC时,求三棱锥B-APM的体积.4.(2019安徽淮南模拟,19)如图,△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;(2)试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.5.(2019天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB⊥平面PBC.(2)若PC⊥平面AEFG,求PFPC的值.(3)直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.(1)证明取AB的中点D,连接PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB.(2)解由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD,垂足为H.∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离.由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC.∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD.在Rt△PCD中,CD=12AB=√2,PD=√32PB=√6,∴PC=√PD2-CD2=2.CH=PC×CDPD=2√33,∴点C到平面APB的距离为2√33.2.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面ABCD.因为平面ADP∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ADP.(2)解取CD的中点F,连接BF,在梯形ABCD中,因为CD=4,AB=2,所以BF⊥CD.又BF=AD=4,所以BC=2√5.在△ABP中,由勾股定理求得BP=2√5.所以BC=BP.又知点M在线段PC上,且BM⊥PC,所以点M为PC的中点.在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q,连接QB,QA,则V三棱锥B-APM=V三棱锥M-APB=V三棱锥Q-APB=V三棱锥B-APQ=13×(12×QP×AQ)×2=13×2√2×2√2=83.4.(1)证明∵△ABC的外接圆O的直径为AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,∴AC⊥BC,AC⊥DC.∵BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.∵AC⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解存在点M和F,使得平面OMF∥平面ACD.取BC的中点M,DE的中点F,连接OM,MF,OF.∵O是AB的中点,∴OM∥AC,MF∥CD.∵AC∩CD=C,OM∩MF=M,AC,CD⊂平面ACD,OM,MF⊂平面OMF,∴平面OMF∥平面ACD.5.(1)证明如图,连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=√3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD=√33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为√33.6.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解连接AF.因为PC⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点.所以PFPC=12.(3)解AE与平面PCD不可能平行.证明如下:假设AE∥平面PCD,因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,所以AB∥平面PCD.而AE,AB⊂平面PAB,所以平面PAB∥平面PCD,这显然矛盾.所以假设不成立,即AE与平面PCD不可能平行.
