导数的概念与计算一、选择题1.(2013湖北荆州模拟)在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为(C)(A)Δx++2(B)Δx--2(C)Δx+2(D)Δx-+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴=Δx+2,选C.2.(2013宿州模拟)若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于(D)(A)2(B)0(C)-2(D)-4解析:∵f'(x)=2f'(1)+2x,∴f'(1)=2f'(1)+2,∴f'(1)=-2,∴f'(x)=2x-4,∴f'(0)=-4.故选D.3.(2013济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f(1))处的切线方程为(D)(A)x+2y-1=0(B)2x+y-1=0(C)x-y+1=0(D)x+y-1=0解析:∵f(1)=12×(1-2)+1=0,∴切点坐标为(1,0).又f'(x)=3x2-4x,∴f'(1)=-1,∴切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.故选D.4.函数f(x)=sin2的导数是(D)(A)f'(x)=2sin(B)f'(x)=4sin(C)f'(x)=sin(D)f'(x)=2sin解析:由于f(x)=sin2==-cos,∴f'(x)=4×sin=2sin,故选D.5.(2013合肥一模)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(D)(A)e2(B)4e2(C)2e2(D)e2解析:因为f'(x)=,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f'(4)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-4),即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)、B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×2×e2=e2,故选D.6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f'(x)为f(x)的导函数,已知y=f'(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是(C)(A)(B)∪(5,+∞)(C)(D)(-∞,3)解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C.二、填空题7.(2013哈尔滨模拟)等比数列{an}中,a1=1,a2013=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2013),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)],∴f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2013)]'∴f'(0)=a1·a2·a3·…·a2013=(a1·a2013)1006=41006=22013.∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22013x.答案:y=22013x8.若θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为,则实数a的值为.解析:设切线的斜率为k,则k=y'=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3.又∵k=tanθ,θ∈,∴k∈[1,+∞).∴当x=-1时,k取最小值为a-3=1.∴a=4.答案:49.(2013湖南十二校联考)若函数y1=2sinx(x∈[0,2π))在点P处的切线平行于函数y2=2(+1)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.解析:函数y1=2sinx的导数为y'1=2cosx≤2,故在点P处的切线的斜率kP≤2;函数y2=2的导数为y'2=+≥2=2(当且仅当x=1时,等号成立),所以在点Q处的切线的斜率kQ≥2.又两切线平行,故切线的斜率只能为2,当kP=2时,点P的坐标为(0,0),当kQ=2时,点Q的坐标为,故直线PQ的斜率k=.答案:三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(-2)2;(3)y=x-sincos;(4)设f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f'(x)=xcosx.解:(1)法一y'=(2x2+3)'(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)'=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y'=(6x3-2x2+9x-3)'=18x2-4x+9.(2)∵y=(-2)2=x-4+4,∴y'=x'-(4)'+4'=1-4×=1-2.(3)∵y=x-sincos=x-sinx,∴y'=x'-(sinx)'=1-cosx.(4)由已知f'(x)=[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]'=[(ax+b)sinx]'+[(cx+d)cosx]'=(ax+b)'sinx+(ax+b)(sinx)'+(cx+d)'cosx+(cx+d)(cosx)'=asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx.∵f'(x)=xcosx,∴必须有即⇒a=d=1,b=c=0.11.(2013海口质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|-|·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.12.求曲线f(x)=x3-3x2+2x的过原点的切线方程.解:f'(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k=f'(0)=2,f(0)=0,所以所求曲线的切线方程为y=2x.(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0=-3+2x0,k=f'(x0)=3-6x0+2,①又k==-3x0+2,②由①②得x0=,k==-.所以所求曲线的切线方程为y=-x.
