基础课教学与创新精神

基础课教学与创新精神 科学活动最本质的特点就是创新或制造. 教学活动必须是最具有制造性的活动. 因此,应该从教学活动的内在特点来理解如何培育学生的制造性.制造性不是“教”出来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的.制造性宁可说是一种心理素养，一种为人处事的态度或者习惯;它是一种最为宝贵的素养：制造始于不满足，始于否定.制造始于自信.制造始于脚下的每一步.制造成于从心所欲不逾矩.以小平邦彦的书为例： 小平邦彦是谁？1915-1997，是日本 20 世纪最伟大的数学家之一.是少有的同时获得 Fields 奖（1954）和 Wolf 奖（1984-1985）的数学家之一.此书是他写的教材.日文本初版于 1991 年(岩波书店出版)，当时他已经 76 岁高龄，于 1975 年在东京大学退休后，在学习院大学任教.此书应是他的晚年著作.他在晚年还主编了一套日本高中教材，被美国数学会译为英文，获得广泛好评.这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神!对于我们如何制造性地做好基础课教学是很好的范例.下面从这本书里举几个例子，来说明我们关于教学中的创新的观点.1. 尽早地比较系统地引入复数 复数与实数的“微积分”真正地表现出本质的区别，应该从哥西—黎曼方程以及哥西定理开始.本书从变量与函数的概念开始就打破了二者的界限,这样做有许多优点: 更深刻地表现了数学的统一性. 更符合历史进展的实际情况. 及早介绍欧拉公式十分方便教学,特别是后续课程和其他学科的课程的教学.举一个例子2. 对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理 现在以一致收敛的函数项级数的逐项积分为例.先看一个习题 (出自原书 I, 247 页第 42 题)“举例说明，存在满足并且在区间上一致收敛于 0 的连续函数序列.”答案其实不难，例如取即可 （或均可）.要点何在？ 某个区间上的连续函数的一致收敛序列容许在积分号下求极限，应该限制于此区间为紧（通常教材上总说“有界闭区间）. 紧性的作用.现在通用的教材的一个通病在于没有看到紧性的极端重要性..当 非紧时不一定是巴拿赫空间.它的对偶空间更是一个麻烦问题. 这个问题与构造广义函数（如 函数）的关系. 自变量 变为（或）与函数值变为（或）在几何形象上互为“逆变”. 还有没有其他的联系？ 假如说以上只是我们对于这个题目的“教学建议”，下面则是原书作者 关于积分号下取极限的问题进一步展开.原书I,197 页...