函数的单调性与最值一、选择题1.(2013杭州模拟)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(C)(A)f(x)=3-x(B)f(x)=x2-3x(C)f(x)=-(D)f(x)=-|x|解析:当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.故选C.2.(2013湖南长沙模拟)函数f(x)=log2(4+3x-x2)的单调递减区间是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由4+3x-x2>0得-12时,y>4+a;当x≤2时,y≤2+a2,要使f(x)的值域为R,则4+a≤2+a2,解得a≥2或a≤-1.故选A.4.(2013四川成都模拟)已知函数f(x)=在R上为增函数,则a的取值范围是(B)(A)-3≤a<0(B)-3≤a≤-2(C)a≤-2(D)a<0解析:要使函数在R上是增函数则有解得-3≤a≤-2.故选B.5.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a>,即实数a的取值范围是.11.(2013湖北八校联考)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足a·b≠0.(1)若a·b>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若a·b<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.解:(1)当a>0,b>0时,任取x1,x2∈R,且x10⇒a(-)<0,<,b>0⇒b(-)<0,所以当a>0,b>0时,f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.同理,当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,当a<0,b>0时,()x>-,则x>log1.5(-);当a>0,b<0时,()x<-,则xf(y),(1)求f(1);(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.(2)由题意知f(x)为(0,+∞)上的减函数,且∴x<0,∵f(xy)=f(x)+f(y),x、y∈(0,+∞)且f=1.∴f(-x)+f(3-x)≥-2,可化为f(-x)+f(3-x)≥-2f,f(-x)+f+f(3-x)+f≥0=f(1),f+f≥f(1),f≥f(1),则解得-1≤x<0.∴不等式的解集为[-1,0).
