选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)1.如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，求AB的长．解：根据题意可以判断Rt△ABE∽Rt△ECD，则有＝，可得AB＝2.2.如图，在△ABC和△DBE中，＝＝＝，若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC的周长为25cm.3.在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，求DE∶BC的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE∶BC＝1∶2.4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm，求BC的长．解： 四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6cm. ∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD∽△FCE，∴＝，即BD＝＝12cm，∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.5.如图，在ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9cm2，求S△AOB.解： 在ABCD中，AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，∴＝. E是CD的中点，∴DE＝CD＝AB，则＝2，∴＝22＝4，∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm)2.6.如图，在△ABC中，D为BC边上中点，延长BA到E，使AE＝EB，连结DE，交AC于F.求AF∶FC的值．解：过D点作DP∥AC(如图)，因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP＝AC.又AE＝EB，所以AE＝AP，所以AF＝DP＝AC，所以AF∶FC＝1∶3.7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长．解：设BF＝x.若△CFB′∽△CBA，则＝，即＝.∴12－3x＝4x，∴x＝.若△CFB′∽△CAB，则＝，即＝，得x＝2.即BF＝2或.8.如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值．解：过D点作DM∥AF交BC于M.因为DM∥AF，所以＝＝.因为EF∥DM，所以＝，即S△BDM＝9S△BEF.又＝，即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC＝14S△BEF，因此＝.9.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN＝BF. DN∥AF，∴△AFE∽△DNE.∴＝. DN＝BF，∴＝，即AE·BF＝2DE·AF.10.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC到D，使CD＝BC，CE⊥BD，交AD于E，连结BE，交AC于点F.求证：AF＝FC.证明：取BC的中点H，连结AH. AB＝AC，∴AH⊥BC. CE⊥BD，∴AH∥EC. CD＝BC，∴CD＝2CH.则DE＝2AE.取ED的中点M，连结CM.则ME＝AE. C为BD的中点，∴CM∥BE.则F为AC的中点，即AF＝FC.11.如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA，交BA的延长线于点F.(1)求证：∠DEA＝∠DFA；(2)若∠EBA＝30°，EF＝，EA＝2AC，求AF的长．(1)证明：连结AD、BC.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°，故A、D、E、F四点共圆，所以∠DEA＝∠DFA.(2)解：在Rt△EFA和Rt△BCA中，∠EAF＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故＝.设AF＝a，又EF＝，∠EBA＝30°，所以BF＝3，则AB＝3－a，AE2＝AF2＋EF2＝a2＋3.所以a(3－a)＝(3＋a2)，解得a＝1.所以AF的长为1.第2课时圆的进一步认识(理科专用)1.(2014·南京、盐城期末)如图，AB、CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC＝，OP＝，求PD的长．解：因为P为AB中点，所以OP⊥AB，所以PB＝＝.因为PC·PD＝PA·PB＝PB2＝，由PC＝，得PD＝.2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，求的值．解：设圆的半径为R，则AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.3.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分别求PD、AB的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD＝9x，DB＝16x.因为PA为圆O的切线，所以PA2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x2＝，所以x＝.所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.因为AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，所以AB⊥PA.所以AB＝＝＝4.4.(2014·苏北三市期末)如图，锐角△ABC的内心为D，过...
