选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)1.求点B(0，1)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵表示将图形变换为与之关于直线y＝x对称的反射变换，故点B(0，1)变换得到点坐标B′(1，0)．2.设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．解：因为＝＝，所以M＝.因为圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，即所以因为x2＋y2＝1，所以(x′－2y′)2＋y′2＝1，即图形F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.3.(2014·苏锡常镇二模)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a、b的值．解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为.∴＝.则由＝，得∴a＝3，b＝1.4.若矩阵M＝，求直线x＋y＋2＝0在M对应的变换作用下所得到的曲线方程．解：设点(x，y)是直线x＋y＋2＝0上任意一点，在矩阵M的作用下变换成点(x′，y′)，则＝，所以因为点(x，y)在直线x＋y＝－2上，所以x′＝x＋y＝－2，故得到的直线方程为x＋2＝0.5.(2014·南通二模)若矩阵M＝把直线l：x＋y－2＝0变换为另一条直线l′：x＋y－4＝0，试求实数a的值．解：设直线l上任意一点P(x，y)在矩阵M作用下的点P′的坐标为(x′，y′)，则＝，所以将点P′(x′，y′)代入直线l′：x＋y－4＝0，得(a－1)x＋2y－4＝0.即直线l的方程为x＋y－2＝0.所以a＝3.6.已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x＋3y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．解：由题设得MN＝[][]＝.设(x，y)是直线2x＋3y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x＋3y＋1＝0上，从而2x′＋3(－y′)＋1＝0，即2x′－3y′＋1＝0.所以曲线F的方程为2x－3y＋1＝0.7.(2014·江苏)已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x、y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．解：由已知，得Aα＝＝，Bα＝＝.因为Aα＝Bα，所以＝.故解得所以x＋y＝.8.变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.求：(1)点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标；(2)函数y＝x2的图象依次在T1、T2变换作用下所得的曲线的方程．解：(1)M1＝，M1＝＝，所以点(2，1)在T1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任意一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是则所以所求曲线的方程是y－x＝y2.9.已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．解：这个变换的逆变换是先作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，其矩阵是＝.10.已知a、b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线L：2x－y＝3变换为自身，求实数a、b.解：(解法1：特殊点法)在直线2x－y＝3上任取两点(2，1)和(3，3)，则＝，即得点(a－2，2b＋3)；＝，即得点(3a－3，3b＋9)．将和分别代入2x－y＝3得解得(解法2：通法)设P(x，y)为直线2x－y＝3上任意一点，其在M的作用下变为(x′，y′)，则＝＝代入2x－y＝3，得－(b＋2)x＋(2a－3)y＝3，由题意得解得11.(2014·盐城二模)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a、b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．解：(1)设直线l上一点(x，y)在矩阵A对应的变换下得点(x′，y′)，则＝，∴代入直线l′，得2x＋(b＋3)y＝1，∴a＝2，b＝－2.(2) 点P(x0，y0)在直线l上，∴2x0＋y0＝1.由＝，得∴∴P.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1.已知α＝为矩阵A＝属于λ的一个特征向量，求实数a、λ的值及A2.解：由条件可知＝λ，所以解得a＝λ＝2.因此A＝，所以A2＝＝.2.(2014·徐州二模)已知矩阵A＝(c、d为实数)．若矩阵A属于特征值2、3的一个特征向量分别为，，求矩阵A的逆矩阵A－1.解：由题意知，＝＝2，＝＝3，所以解得所以A＝，所以A－1＝.3.(2014·南通一模)已知二阶矩阵M有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e1＝，且M＝，求矩阵M.解：设M＝，则由＝，得再由＝，得联立以上方程组解...
