选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题．1.已知A＝，B＝，若A＝B，求ax＋by的值．解： A＝B，∴∴x＝1，y＝1，a＝0，b＝2，则ax＋by＝0＋2＝2.2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．解：＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝.5.(2014·无锡期末)求使等式＝M成立的矩阵M.解：设M＝，＝，∴＝.∴＝，∴∴∴M＝.1.二阶矩阵与平面向量(1)矩阵的概念在数学中，把形如，，这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法①[a11a12]＝[a11×b11＋a12×b21]；②＝.2.几种常见的平面变换(1)当M＝时，则对应的变换是恒等变换．(2)由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6)由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．3.线性变换的基本性质(1)设向量α＝，则λα＝.(2)设向量α＝，β＝，则α＋β＝.(3)A是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A(λα)＝λAα，A(α＋β)＝Aα＋Aβ.(4)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．4.二阶矩阵的乘法(1)A＝，B＝，则AB＝(2)矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)．[备课札记]题型1二阶矩阵的运算,1)已知B＝，求矩阵B.解：设B＝，则B＝，故解得故B＝.已知矩阵A＝，B＝且α＝，试判断(AB)α与A(Bα)的关系．解：AB＝，∴(AB)α＝＝，A(Bα)＝＝＝.∴(AB)α＝A(Bα)．题型2求变换前后的曲线方程,2)(2014·南京、盐城期末)已知曲线C：xy＝1，若矩阵M＝对应的变换将曲线C变为曲线C′，求曲线C′的方程．解：设曲线C上一点(x′，y′)对应于曲线C′上一点(x，y)，所以＝，所以x′－y′＝x，x′＋y′＝y.所以x′＝，y′＝，所以x′y′＝·＝1，所以曲线C′的方程为y2－x2＝2.已知矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的方程．解：MN＝＝，设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.所求曲线C的方程为y＝sinx.题型3根据变换前后的曲线方程求矩阵,3)二阶矩阵M对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．(1)求矩阵M；(2)若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．解：(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.(2014·苏州期末)已知a、b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.解：设＝，则 2x′－y′＝3，∴2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3.此直线即为2x－y＝3，∴－2－b＝2，2a－3＝－1，解得a＝1，b＝－4.题型4平面变换的综合应用,4)已知M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.解：(1)因为MN＝＝，所以(MN)...
