第一部分专题一第4课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1．(2012·武汉名校调研)曲线y＝2x－lnx在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝－x－1B．y＝－x＋3C．y＝x＋1D．y＝x－1解析：由y＝2x－lnx可得y′＝2－，则在点(1,2)处的切线的斜率为k＝2－1＝1，其切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，故应选C.答案：C2．(2012·陕西卷)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析： f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数，同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．答案：D3．(2012·石家庄质检)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．1＜a≤2B．a≥4C．a≤2D．0＜a≤3解析： f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x＞0)，当x－≤0时，有0＜x≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－1＞0，a＋1≤3，解得1＜a≤2.答案：A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：C5．(2012·江西六校联考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝x·ex解析：由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负．对于A，f′(x)＝cosx－sinx．f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈上，恒有f″(x)＜0；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈上，恒有f″(x)＜0；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈上，恒有f″(x)＜0；对于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈上，恒有f″(x)＞0，故选D.答案：D6．(2012·福建卷)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析： f(x)＝x3－6x2＋9x－abc.∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③是对的，应选C.答案：C7．(2012·辽宁卷)已知P，Q为拋物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作拋物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：因为y＝x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.答案：－48．已知函数f(x)＝，导函数为f′(x)，在区间[2,3]上任取一点x0，使得f′(x0)＞0的概率为________．解析：f′(x)＝，由f′(x)＞0得＞0，∴0＜x＜e，故由几何概型可得f′(x0)＞0的概率为p＝＝＝e－2.答案：e－29．(2012·苏锡常镇四市一调)已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．解析：依题意得，当a＞0，b＞0时，f′(x)＝3ax2＋b＋2xln2＞0，因此函数f(x)在[0,1]上是增函数，于是有f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2；当a＞0，b＞0时，函数f(x)在[－1,0]上也是增函数，于是f(x)在[－1,0]上的最小值是f(－1)＝－a－b＋2－1＝－2＋＝－.答案：－10．(...
