第一部分专题二第3课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1．(2012·河南省三市调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋＝()A．iB．1－iC．1＋iD．－i解析：由已知得z＝＝＝＝i，|z|＋＝|i|＋＝1－i，选B.答案：B2．已知单位向量α，β，，满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为()A．－B.C.D.解析：记α与β的夹角为θ，则依题意得2α2－2β2＋3α·β＝2×12－2×12＋3×1×1×cosθ＝1，cosθ＝，即α与β的夹角的余弦值是，选B.答案：B3．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：复数z＝＝－1－i，故|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．答案：C4．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.B.C.D.或解析：由题意知|a|＝4，|b|＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.答案：B5．(2012·天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.B.C.D．2解析：由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0，故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2.又AB＝1，AC＝2，代入上式解得λ＝.答案：B6.(2012·杭州二检)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)解析：根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则OD＝tOC. D在圆外，∴t＜－1，又D、A、B共线，∴存在λ，μ，使得OD＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1，又由已知，OC＝mOA＋nOB，∴tmOA＋tnOB＝λOA＋μOB，∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)，选D.答案：D7．(2011·江苏卷)复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋1＋bi)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，所以a＝1，b＝3，复数z的实部是1.答案：18．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析： a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.答案：39．(2012·北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．解析：如图所示，以AB、AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)．故DE·CB＝1.又DC＝(1,0)，∴DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴DE·DC的最大值为1.答案：1110．(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①当x、y为何值时，a与b共线？②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．解析：(1)① a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴⇒②由a⊥b⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.①由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.②解①②得或∴xy＝－1或xy＝.(2) m·n＝|m||n|cos60°＝，∴|a|2＝|2m＋n|2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7，|b|2＝|－3m＋2n|2＝7， a·b＝(2m＋n)·(－3m＋2n)＝－.设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.11．已知复数z1＝sin2x＋ti，z2＝m＋(m－cos2x)i(i为虚数单位，t，m，x∈R)，且z1＝z2.(1)若t＝0且0＜x＜π，求x的值；(2)设t＝f(x)，已知当x＝α时，t＝，试求cos的值．解析：(1)因为z1＝z2，所以所以t＝sin2x－cos2x，若t＝0，则sin2x－cos2x＝0，得tan2x＝.因为0＜x＜π，所以0＜2x＜2π，所以2x＝或2x＝，所以x＝或x＝.(2)因为t＝f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，因为当x＝α时，t＝，所以2sin＝，sin＝－，所以cos＝co...
