3.1ARCH与GARCH模型例1.自回归条件异方差模型3.1.1问题的提出对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程yt=β1+β2x2t+β3x3t+εt（3.1.1）中的εt的方差可能与x2t2成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方程的两边同时除以变量x2t，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程ytx2t=β11x2t+β2+β3x3tx2t+εt¿（3.1.2）在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。通货膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度。一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由RobertEngle研究发展出来的，他认为用一个自回归条件异方差模型（Autoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，简计为ARCH模型）会提高有效性。3.1.2定义一般的，公式（1）中随机误差项εt的方差σt2可以依赖于任意多个滞后变化量εt−i（i=1,2,…p），记作ARCH（p）σt2=α0+α1εt−12+α2εt−22+.......+αpεt−p2（3.1.3）注意：（1）为了保证在给定ε2t−i条件下，σt2≥0，就必须要求α≥0（α=0,1,⋯,p）；（2）要保证误差序列εt的平稳性，系数必须满足：α1+α2+⋯αp≺1。3.1.3检验3.1.3.1Breusch-Pagan检验在同方差的假设下条件下：1SSR/2~X2(1)根据Eviews3.1OLS处理结果，可根据下式计算检验的统计量SSR/2R2=SSRSST=SSRSSR+SSE查自由度为1时的χ2分布表，找出给定显著性水平α条件下临界值，比较检验统计量与临界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设3.1.3.2拉格朗日乘子检验法（ＬＭ）已经讨论过两种假设检验法：F检验（Wald检验）法(第5章)和似然比检验法。Wald检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(即一些回归参数等于0)是否显著地减弱了回归模型的解释能力。根据Wald检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备择假设由无条件模型给定。在线性回归模型情况下，显著性由F检验来评估。似然比检验法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，但是这一检验却是用χ2分布完成的。由于似然比(LR)检验法的基础是极大似然原则，因此它是很有吸引力的检验法。拉格朗日乘数(LM)检验由有限制条件模型限定的原假设出发，检验向备择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的解释能力。拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术为基础，其中拉格朗日乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令βUR为无条件模型参数的极大似然估计，βR为有条件模型参数的极大似然估计。目标是在限制条件βUR=βR下求lnL(βUR)的极大，这就等价于求下式的极大lnL(βUR)－λ（βUR－βR）其中λ是拉格朗日乘数。很明显，限制条件成立时这个函数达到极大值。拉格朗日乘数度量的是限制条件的边际“价值”：λ越大，限制条件对lnL(βUR)的极大值影响就越大。要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是∂ln(L)∂βUK=λ所以λ是似然函数的斜率。如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无条件的参数很接近，而且λ的值会较小。但是，如果限制条件显著地不成立，则加上限制条件的损失，也就是λ，就会更大。因此，基于λ大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计数检验（scoretest）。拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外的解释变量的特殊情况。假如已经估计了有条件模型Y=β1+β2X2+⋯+βk−qXK−q+εR(3.1.4)而且正在考虑可能加入另外q个变量中的部分或全部变量的无条件模型2Y=β1+β2X2+⋯+βk−qXK−q+⋯+βkXk+εUR(3.1.5)关于q个变量中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗日乘数检验首先计算有条件模型(10—17)的残差。特别地，如：^εR=Y−^β1−^β2X2−⋯−^βk−qXk−q(3.1.6)然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有解释变量进行回归^εR=γ1+γ2X2+⋯+γkXk+μ如果所有这些另外加上的变量都是“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模型时，q个多出来的变量的系数应当为0。然而，如果...
