第2讲三角函数的化简与求值A级——高考保分练1．若＝3，则cosα－2sinα＝________.解析：由已知得sinα≠0，且3sinα＝1＋cosα>0，即cosα＝3sinα－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sinα－1)2，解得sinα＝，∴cosα－2sinα＝3sinα－1－2sinα＝sinα－1＝－.答案：－2．已知sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝________.解析：由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，则tan2θ＝＝＝.答案：3．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则cos＝________.解析：由题意，得cosθ＝，sinθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.答案：－14．已知cos2α＋3cosα＝1，则cosα＝________.解析：由题意，得2cos2α＋3cosα－2＝0，所以(cosα＋2)(2cosα－1)＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)．答案：5．已知cos＝－，θ∈，则sin＝________.解析：∵cos＝－，∴(cosθ－sinθ)＝－，∴cosθ－sinθ＝－，∵θ∈，∴＜θ＜，则1－2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝，又∵＜2θ＜π，∴cos2θ＝－.∴sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.答案：6．若角α满足＝5，则＝________.解析：＝＝＝＝＝5.答案：57．若α，β都是锐角，且sinα＝，sin(α－β)＝，则sinβ＝________.解析：因为sinα＝，α为锐角，所以cosα＝.因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<.又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.答案：8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－.答案：－9．已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．解析：由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，∴sin＝，sin＝，∴sin＝－sin＝－.答案：－10．(2019·扬州期末)设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________.解析：因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.答案：11．已知角α的终边经过点P(x,1)，且cosα＝－.(1)求tan2α的值；(2)求sin的值．解：(1)因为P(x,1)，所以点P到原点的距离r＝，因为cosα＝－，所以cosα＝＝＝－，所以x＝－2，所以tanα＝＝－，所以tan2α＝＝－.(2)由(1)知r＝＝，所以sinα＝＝，又cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝－×－×＝－.12.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．解：(1)因为点C的坐标为，根据三角函数的定义，得sin∠COA＝，cos∠COA＝.因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.所以cos∠BOC＝cos＝cos∠COAcos－sin∠COAsin＝×－×＝.(2)因为∠AOC＝θ，所以∠BOC＝＋θ.在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.因为0<θ<，所以<θ＋<.所以－－，所以－<β<0.又0<α<，S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB＝，所以∠AOB＝，所以∠AOB＝α－β＝，即α＝β＋.sincos－sin＋＝sincos－sin2＋＝sinα＋cosα＝sin＝sin＝cosβ＝.答案：3．(2019·如东中学期中)已知角α的终边上有一点P(1,2)．(1)求tan的值；(2)求sin的值．解：根据题意tanα＝2，sinα＝，cosα＝，(1)tan＝＝＝－3.(2)sin＝sin2αcos＋cos2αsin＝2sinαcosα×＋(2cos2α－1)×＝2×××＋×＝－.4．已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，即sin＝－，因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－.所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)由(1)知tanα－＝－＝＝＝＝2.
