板块命题点专练板块命题点专练((七七))平面向量平面向量命题点一平面向量基本定理1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝________.(用a，b表示)解析：由题知EB＝EA＋AB＝－AD＋AB＝－＋AB＝AB－AC＝a－b.答案：a－b2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：由题易得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.答案：3．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tanα＝7，α∈，得sinα＝，cosα＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝|OC|cosα＝×＝，yC＝|OC|sinα＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin(α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝|OB|cos(α＋45°)＝－，yB＝|OB|sin(α＋45°)＝，即B.由OC＝mOA＋nOB，可得解得所以m＋n＝＋＝3.答案：34．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以所以所以m－n＝2－5＝－3.答案：－3命题点二平面向量的数量积1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．解析：由题意，得BF·CF＝(BD＋DF)·(CD＋DF)＝(BD＋DF)·(－BD＋DF)＝DF2－BD2＝|DF|2－|BD|2＝－1，①BA·CA＝(BD＋DA)·(CD＋DA)＝(BD＋3DF)·(－BD＋3DF)＝9DF2－BD2＝9|DF|2－|BD|2＝4.②由①②得|DF|2＝，|BD|2＝.所以BE·CE＝(BD＋DE)·(CD＋DE)＝(BD＋2DF)·(－BD＋2DF)＝4DF2－BD2＝4|DF|2－|BD|2＝4×－＝.答案：2．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．解析：因为AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝|AD|2－|AB|2－AD·AB＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得AB·AD＝22.答案：223．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.答案：34．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，所以m＝－1.答案：－15.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为________．解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则AE＝(－1，y)，BE＝，∴AE·BE＝＋y2－y＝2＋，∴当y＝时，AE·BE有最小值.答案：6．(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则AP＝(cosα＋2，sinα)，AO·AP＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”成立，故AO·AP的最大值为6.法二：由题意知，AO＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO·AP＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故AO·AP的最大值为6.答案：67．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.解析：因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，所以a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2.答案：－28．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.则tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
