§22.1矩阵与变换考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.矩阵与变换1.矩阵与逆矩阵2.矩阵变换的运用3.矩阵的特征值与特征向量B21B,10分21B,10分21B,10分21B,10分21B,10分解答题★★★2.极坐标方程和直角坐标方程的互化极坐标方程及简单运用B21C,10分解答题★★★3.参数方程和普通方程的互化参数方程及简单运用B21C,10分21C,10分21C,10分21C,10分解答题★★★4.不等式的解法与证明1.绝对值不等式的解法2.简单不等式的证明B21D,10分21D,10分21D,10分21D,10分21D,10分解答题★★★分析解读江苏高考对选修4的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.命题探究直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,所以设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d==.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.五年高考考点矩阵与变换1.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换]已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=,B=,所以AB==.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则=,即所以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.解析设B=,则B-1B==,即=,故解得所以B=.因此,AB==.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,y∈R,向量α=是矩阵A=的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.解析由已知,得Aα=-2α,即==,则即所以矩阵A=.从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.解析由已知,得Aα==,Bα==.因为Aα=Bα,所以=.故解得所以x+y=.5.(2013江苏,21B,10分)已知矩阵A=,B=,求矩阵A-1B.解析设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=,所以A-1B==.教师用书专用(6)6.[2013福建,21(1),7分]选修4—2:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l':x+by=1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A=,求点P的坐标.解析(1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').由==,得又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得解得(2)由A=,得解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点矩阵与变换1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知矩阵A=,若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(2,6),求实数k的值.解析矩阵A=,∴A-1=,所以A-1==,将(2,2)代入y=kx+1得k=.2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=,求A的特征值.解析因为AA-1===,所以解得a=1,b=-.∴A=,则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)(λ-1).令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=3.所以A的特征值为1,3.3.(2017江苏南京、盐城一模)设矩阵M=的特征值λ对应的一个特征向量为,求m与λ的值.解析由题意得=λ,则解得m=0,λ=-4.4.(2017江苏扬州期中)已知矩阵M=的一个特征值为4,求实数a的值.解析矩阵M的特征多项式f(λ)==(λ-2)(λ-1)-3a,因为矩阵M=的一个特征值为4,所以4为方程f(λ)=0的一个根,所以2×3-3a=0,解得a=2.5.(2017江苏徐州期末调研)已知矩阵A=的一个特征值为2,其对应的一个特征向量α=.求a,b的值.解析由条件知,Aα=2α,即=2,即=,所以解得所以a,b的值分别为2,4.6.(2016江苏苏北四市一模,21)已知矩阵A=,求矩阵A的特征值和特征向量.解析矩阵A的特征多项式f(λ)==λ2-5λ+6,由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.当λ=2时,特征方程组为故属于特征值2的一个特征向量α1=;当λ=3时,特征方程组为故属于特征值3的一个特征向量α2=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分...
