“3＋1”保分大题强化练七前3个大题和1个选考题不容有失1．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求证数列{an＋1}是等比数列，并求an；(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．解：(1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因为Sn＝2an－n，①所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以＝＝＝2.所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.设{bn}的公差为d，则b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.设数列{n·2n}的前n项和为Kn，数列{n}的前n项和为Tn，则Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，③2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，④③－④得，－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，所以{anbn}的前n项和为(n－1)·2n＋1－＋2.2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥MC.(1)证明：MN∥平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角ACMN的余弦值．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，连接BM.因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1.因为AA1∥BB1，所以AA1⊥BC.又AA1⊥MC，BC∩MC＝C，所以AA1⊥平面BCM，所以AA1⊥MB，又AB＝A1B，所以M是AA1的中点．取BC的中点P，连接NP，AP，因为N是B1C的中点，所以NP∥BB1，且NP＝BB1，所以NP∥MA，且NP＝MA，所以四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP.又MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC，所以MN∥平面ABC.(2)因为AB⊥A1B，所以△ABA1是等腰直角三角形．设AB＝a，则AA1＝2a，BM＝AM＝a.又在Rt△ACM中，AC＝a，所以MC＝a.在△BCM中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2，所以MC⊥BM，所以MA1，MB，MC两两垂直，以M为坐标原点，MA1，MB，MC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，N，所以MC＝(0,0，a)，MN＝.设平面CMN的法向量为n1＝(x，y，z)，则即取x＝1，得y＝－2.故平面CMN的一个法向量为n1＝(1，－2,0)．因为平面ACM的一个法向量为n2＝(0,1,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－.因为二面角ACMN为钝角，所以二面角ACMN的余弦值为－.3．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15岁至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15,25)27人13人40人20人[25,35)23人17人35人25人[35,45]20人20人35人25人(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数．②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券)．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望．(2)从统计数据可直观得出“经常使用共享单车与年龄达到m岁有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数为100×＝20，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人...
