第8讲函数与方程1．(2018·河北省定州中学月考改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．[解析]由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，所以f(x)的零点个数是1.[答案]12．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345[解析]据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．[答案](1，2)3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精度要求至少需要计算的次数是________．[解析]设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100，由26＝64，27＝128知n＝7.[答案]74．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．[解析]当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.[答案]05．函数f(x)＝若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．[解析]函数f(x)＝的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1.[答案](－∞，1)6．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[解析]当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0
1时，g(x)有2个零点，所以a的最小值为1.[答案]19．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．[解析]函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．[答案]210．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，又函数f(x)＝.若f(x)＝a在[－e，4]上有6个零点，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意画出函数f(x)在[－e，4]上的图象，如图所示．又f(x)＝a在[－e，4]上有6个零点，数形结合可知，实数a的取值范围为(0，1)．[答案](0，1)11．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.[证明]令g(x)＝f(x)－x，因为g(0)＝，g＝f－＝－，所以g(0)·g<0.又函数g(x)在上连续，所以存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.12．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．[解]设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，①若f(x)＝0在区间[0，2]上有且仅有一解，因为f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又因为f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，所以m<－.②若f(x)＝0在区间[0，2]上有一个或两个解，则所以所以所以－≤m≤－1.由①②可知m的取值范围为(－∞，－1]．1．已知函数f(x)＝(x∈(－1，1))，有下列结论：①∀x∈(－1，1)，等式f(－x)＋f(x)＝0恒成立；②∀m∈[0，＋∞)，方程|f(x)|＝m有两个不等实数根；③∀x1，x2∈(－1，1)，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④存在无数个实数k，使得函数g(x)＝f(x)－kx在(－1，1)上有三个零点，则其中正确结论的序号为________．解析：因为f(－x)＝－f(x)，函数f(x)是奇函数，故①正确；当m＝0时，|f(x)|＝0只有一个解，故②错误；作出函数f(x)在(－1，1)上...
