课时达标检测(四十一）直线与圆、圆与圆的位置关系[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·淮安清江中学模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是________．解析：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.则r2－d2＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，即7a2－4a＋7＞0恒成立，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．答案：相交2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________．解析： 所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0. 所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴＝，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案：2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝03．(2018·江都中学月考)过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为________．解析：由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.答案：x－y＋5＝04．(2018·常州期中)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．解析：连结OP，要使得∠APB＝60°，则∠OPA＝30°，在直角三角形OPA中，OP＝2，所以必有以原点O为圆心，半径为2的圆与圆M有公共点，即2－1≤OM≤2＋1,1≤≤3，所以2－≤a≤2＋.答案：[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a的值为________．解析：因为(x－a)2＋(y－3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为2，所以由直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以＝2，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.答案：3或－52．(2018·盐城中学模拟)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为________．解析：设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为＝，所以＝，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.答案：x－y＋5＝03．(2018·如东中学月考)已知圆O：x2＋y2＝4，点M(1,0)是圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB，CD，则弦长AC的取值范围是________．解析：设AC的中点为P(x，y)，则OP⊥AC，|PA|＝|PM|，＝，即2＋y2＝，则点P是以为圆心，为半径的圆，∴|PM|max＝，|PM|min＝，∴|AC|max＝＋1，|AC|min＝－1，故|AC|的取值范围为[－1，＋1]．答案：[－1，＋1]4．(2018·徐州中学期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为________．解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.答案：x2＋y2－x＋7y－32＝05．(2018·温州期初)设圆C：(x－k)2＋(y－2k＋1)2＝1，则圆C的圆心的轨迹方程为________；若k＝0，则直线l：3x＋y－1＝0截圆C所得的弦长为________．解析：由题可得，圆心C(k,2k－1)，令x＝k，y＝2k－1，解得y＝2x－1.所以圆C的圆心的轨迹方程为y＝2x－1.因为k＝0，所以C：x2＋(y＋1)2＝1.所以圆心C(0，－1)到直线l的距离为d＝＝，所以弦长为2＝.答案：y＝2x－16．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．解析：圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a，0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝...
