课时跟踪检测（四十二）椭圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·江安中学期末)经过点A，B两点的椭圆的方程为________________．解析：设椭圆的方程为＋＝1，则解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b2＝27.所以椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝13．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．解析：由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.答案：4．(2018·南京名校联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝.答案：或5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________________．解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意知解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M，令MF1＝m，MF2＝n.由椭圆的定义可得m＋n＝2a，因为MF1⊥MF2，所以m2＋n2＝4c2，因为(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(n2＋m2)，当且仅当m＝n＝a时取等号，即4a2≤2(4c2)，所以a≤c，所以≥，即e≥，因为e<1，所以≤e<1.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·镇江期末)已知椭圆＋＝1(m＞n＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF1·PF2＝________.解析：法一：PF1·PF2＝(PO＋OF1)·(PO＋OF2)＝(PO＋OF1)·(PO－OF1)＝|PO|2－|OF1|2＝n－(m－n)＝2n－m.法二：设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2＋y2＝n，PF1·PF2＝(x＋c)(x－c)＋y2＝x2＋y2－c2＝n－(m－n)＝2n－m.答案：2n－m2．(2017·常州模拟)若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为________．解析：不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.所以a2＝9b2＝9(a2－c2)．即＝，所以e＝＝.答案：3．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且AB＝3，则C的方程为__________________．解析：由题意知椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，可设C的方程为＋＝1(a>1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长AB＝3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝14．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．解析：因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以B2F＝(c，－b)，B1A＝(a，b)．因为B2F⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．答案：5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c＝3.又b＝4，所以a...
