课时达标检测(十四）导数的概念及导数的运算[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·镇江调研)函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.答案：42．(2017·苏州暑假测试)曲线y＝2x在x＝0处的切线方程是________．解析：因为y′＝2xln2，所以在x＝0处的切线斜率为k＝20×ln2＝ln2，因此切线方程是y－1＝ln2×(x－0)，即y＝xln2＋1.答案：y＝xln2＋13．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－ex图象的切线，则实数a＝________.解析：设切点为(x0，y0)．f′(x)＝－ex，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.答案：e24．(2018·无锡期末)过曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.解析： y′＝1＋，∴y′x＝x0＝1＋，∴AB：y－y0＝(x－x0)．又y0＝x0－，∴y－x0＋＝(x－x0)令x＝0得y＝－；令y＝0得x＝，∴S△OAB＝··＝，解得x＝(负值舍去)．答案：5．(2018·常州月考)设点P为函数f(x)＝图象上任一点，且f(x)在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为________．解析：由f(x)＝得，f′(x)＝≥×2＝，即tanα≥(α∈[0，π))，解得≤α＜.答案：[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·扬州期初测试)若以数列{an}中的各项an作为系数，构成一个函数系y＝anx3，其图象在x＝1处的切线的斜率为4an－1－1(n≥2)，且a1＝，则an＝________.解析：由y＝anx3，得y′＝3anx2，故当x＝1时，切线的斜率k＝3an，从而3an＝4an－1－1(n≥2)，于是3an－3＝4an－1－4(n≥2)，故＝(n≥2)，又a1＝，所以a1－1＝，所以数列{an－1}是以为首项，为公比的等比数列，故an－1＝×n－1，从而an＝＋1.答案：＋12．(2018·泰州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________．解析：设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率k＝f′(t)＝3t2－a①，所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②.将点A(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝.分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，由题意得它们互为相反数，故－a＋－a＝0，解得a＝.答案：3．(2018·太仓高级中学模拟)若点P，Q分别是曲线y＝与直线4x＋y＝0上的动点，则线段PQ长的最小值为________．解析：易知曲线y＝与直线4x＋y＝0无公共点，设直线4x＋y＝m与y＝相切，P为切点．对y＝求导得y′＝－，由－＝－4得x＝±1，因此P(1,5)或P(－1，－3)，解得m＝9或m＝－7，此时两直线4x＋y＝m,4x＋y＝0间的距离分别为，，故线段PQ长的最小值为.答案：4．(2018·淮安月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上为凸函数的是________．(填序号)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：在定义域内，由f″(x)＝－sinx－cosx＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．答案：①②③5．(2018·重庆诊断)已知函数f(x)＝＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为________．解析： f(x)＝＋sinx，∴f′(x)＝－＋cosx，f(x)＋f(－x)＝＋sinx＋＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－＋cosx＋－cos(－x)＝0，∴f(2019)＋f(－2019)＋f′(2019)－f′(－2019)＝2.答案：26．(2018·宿迁期初测试)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列四个命题：①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝－x＋π在点P(π，0)处“切过”曲...
