§3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.利用图象求表达式2.利用图象求参数A填空题解答题★★☆2.函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.求单调区间2.求值域与最值3.利用单调性、周期性、奇偶性求参数A填空题解答题★★☆分析解读江苏高考对本节内容要求较低,近年没有考查.但是复习时仍要以本部分知识为载体,巩固数形结合思想和函数的相关性质.五年高考考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.(2016天津文改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2+sinωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是.答案∪2.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.因为f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin.因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.考点二函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.(2014陕西改编,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是.答案π2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π3.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.解析(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.4.(2016山东,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解析(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-(1-2sinxcosx)=(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin+-1.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sinx+-1的图象,即g(x)=2sinx+-1.所以g=2sin+-1=.5.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin,ω>0,(3分)所以f(x)的最小正周期T==.(4分)依题意,=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=sin.函数y=sinx的单调递增区间为(k∈Z).(8分)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(13分)教师用书专用(6—9)6.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.7.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意,得当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此
