§3.4两角和与差的三角函数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.两角和与差的三角函数的基本运用1.求三角函数值2.化简三角函数式C8题5分5题5分填空题解答题★★★2.公式的综合运用1.求三角函数值2.研究三角函数性质C填空题解答题★★★分析解读本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.五年高考考点一两角和与差的三角函数的基本运用1.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=.答案2.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案33.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案4.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案15.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cosx·-cos2x+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.6.(2013安徽理,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin+.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.教师用书专用(7)7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.考点二公式的综合运用1.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos=,则sin2α=.答案-2.(2015重庆改编,9,5分)若tanα=2tan,则=.答案33.(2014课标Ⅰ改编,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则2α-β=.答案4.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.答案-5.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsincos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tanxcosxcos-=4sinxcos-=4sinx-=2sinxcosx+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,易知函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.6.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,因为ω>0,所以ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<得k=0,所以φ=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由<α<得0<α-<,所以cos===.因此cos=sinα=sin=sincos+cossin=×+×=.7.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,所以由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α).即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.由α是第二...
