第4讲简单的三角恒等变换1．函数y＝sinxsin的最小正周期是________．[解析]因为y＝sinxcosx＝sin2x，所以T＝＝π.[答案]π2.若＝，则tan2α＝________．[解析]因为＝＝＝，所以tanα＝2，所以tan2α＝＝＝－.[答案]－3．化简的结果是________．[解析]＝＝＝cos1.[答案]cos14．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________．[解析]设三边分别为a，b，c，则＝，a＝sinA，＝，b＝sin，△ABC的周长l＝sinA＋sin＋2＝2sinA＋2cosA＋2＝4sin＋2.[答案]4sin＋25．函数y＝cos4x＋sin4x的最小正周期为________．[解析]y＝cos4x＋sin4x＝2＝2＝2cos，故T＝＝.[答案]6.＝________．[解析]＝＝＝＝－.[答案]－7．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是________．[解析]f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝时，f(x)max＝1＋＝.[答案]8．若f(x)＝2tanx－，则f的值为________．[解析]因为f(x)＝2tanx＋＝2tanx＋＝＝，所以f＝＝8.[答案]89．设α∈，则＋的最小值为________．[解析]＋＝＝＝－2sinαcosα.令sinαcosα＝t，则t＝sin2α.因为α∈，所以t∈.令g(t)＝－2t，则g(t)在上是减函数，所以当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.[答案]110．(2016·高考江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．[解析]由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tanBtanC>2，则tanBtanC>1，m>2.又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时取得等号，故tanAtanBtanC的最小值为8.[答案]811．(1)化简；(2)求值：4cos50°－tan40°.[解](1)原式＝＝＝＝＝2cos2x.(2)原式＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝.12．(2018·合肥模拟)已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．[解](1)因为cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，所以sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)因为α∈，所以2α∈，又由(1)知sin2α＝，所以cos2α＝－.所以tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.1．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝________.[解析]法一：因为tanθ＋＝＝4，所以4tanθ＝1＋tan2θ，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.法二：因为tanθ＋＝＋＝＝，所以4＝，故sin2θ＝.[答案]2．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．[解析]因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin2＝，cos2＝，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.[答案]3.(2018·南通调研)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．[解析]法一：在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cos∠BAC＝－，tan∠BAC＝－，tan∠CAD＝tan(∠BAC－45°)＝＝.法二：同上得tan∠BAC＝－，再由tan(45°＋∠CAD)＝－，解之得tan∠CAD＝.[答案]4．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________．解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，所以tan(α＋β)＝1.又因为α，β∈，tanα＋tanβ＝－3a＜0，tanαtanβ＝3a＋1＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.答案：－5．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．[解](1)因为由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)·cosα－3cos(α＋β)sinα，所以sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα，于是＝2tanα，即＝2x，所以y＝，即f(x)＝.(2)因为角α是一个三角形的最小内角，所以0＜α≤，则0＜x≤，f(x)＝＝≤＝，故函数f(x)的值域为.6．(2018·江苏省四星级学校联考)已知向量a＝(2，cos2x)，b＝，函数f(x)＝a·b.(1)若f(α)＝，α∈，求f的值；(2)若函数g(x)＝af(x)＋b的定义域为，值域为[1－，3]，求实数a，b的值．解：由题意知f(x)＝2cos2－cos2x＝cos＋1－cos2x＝2sin＋1.(1)因为f(α)＝2sin＋1＝，所以sin＝－.又α∈，所以2α－∈，则cos＝.因为f＝2sin＋1＝2sin2α＋1，sin2α＝sin＝－×＋×＝，所以f＝2×＋1＝＋1＝.(2)因为g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋a＋b，由x∈可得，2x－∈，所以sin∈.显然a≠0，①当a＞0时，由题意可得，解得；②当a＜0时，由题意可得，解得.综上，或.
